一道三角函数题的九种解法

施贵军

古诗云“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”说的是庐山从不同视角观看，所看到的景象不一样。这个道理其实对于数学也是适用的。面对同一道数学题，我们可以选取不同的视角去思考、分析，从而采用不同的方法来解决。下面以一道三角函数题为例，给出九种解法，供大家参考。

题目：若cosα+2sinα=- ，求tanα

解法一：利用三角函数“定义”

设角α终边上一点的坐标为（x，y），则cosα= ，sinα= ，tanα=

其中r2=x2+y2，由cosα+2sinα=- 得 + =-

即x+2y=- r，平方得x2+4xy+4y2=5r2，将r2=x2+y2代入左

式得：

4x2-4xy+y2=0，即（2x-y）2=0

所以2x=y，tanα= =2

解法二：利用“方程思想”

由cosα+2sinα=- 得cosα=- -2sinα，

又因为sin2α+cos2α=1，将cosα=- -2sinα代入方程得：

sin2α+（- -2sinα）2=1，即5sin2α+4 sinα+4=0

∴（ sinα+2）2=0解得sinα=- ，cosα=-

故tanα= =2

解法三：利用“1”构造正、余弦

由cosα+2sinα=- 平方得cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5

即cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5（sin2α+cos2α）

化简得sin2α-4sinαcosα+4cos2α=0

所以（sinα-2cosα）2=0，即sinα=2cosα

则tanα= =2

解法四：利用“1”构造正切

由解法三得cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5，

所以 =5（cosα≠0），分子分母同时除以cos2α得 =5，所以tan2α-4tanα+4=0

（tanα-2）2=0，故tanα=2

解法五：利用“弦”化“切”

由cosα+2sinα=- 得 =-

所以1+2tanα=- ，两边平方得（1+2tanα）2= ，

即（1+2tanα）2=

化简得tan2α-4tanα+4=0

所以tanα=2

解法六：利用公式“1+tan2α= ”

由解法五得（1+2tanα）2= 代入公式1+tan2α= 得

（1+2tanα）2=5（1+tan2α）

所以tan2α-4tanα+4=0，则tanα=2

解法七：利用“辅助角φ”

由cosα+2sinα=- 得 （ cosα+ sinα）=-

令cosφ= ，sin=

则sin（α+φ）=-1，因此α+φ=2kπ- （k∈Z）

α=2kπ- -φ

tanα=tan（2kπ- -φ）=-tan（ +φ）= = =2

评注：以上几种解法从不同的角度分析得到了tanα的值。虽然“道不同”，但结果相同，而且都是一些常规解法，比较容易想到。唯一的遗憾就是运算量比较大。请欣赏下面两种解法：

解法八：利用“导数”

令f（x）=2sinx+cosx，因为f（x）=2sinx+cosx= sin（x+θ）

由cosα+2sinα=- 知函数f（x）=2sinx+cosx在x=a处取得最小值（也是极小值）。

所以f ′（a）=0

因为f ′（x）=2cosx-sinx，所以f ′（a）=2cosα-sinα=0

即tanα= =2

评注：通过观察cosα+2sinα=- 的特征，我们发现- 恰好是函数f（x）=2sinx+cosx的最小值，即x=a是函数f（x）=2sinx+cosx的一个极值点，从而可以利用导数求解，而且几乎可以口算。方法独特，可谓别出心裁。

解法九：利用“向量的数量积”

设 =（2，1）， =（sinα，cosα），两个向量的夹角为θ

所以 · =2sinα+cosα=-

又 · = cosθ= cosθ

即 cosθ=- ，所以cosθ=-1，θ=π

因此 ∥

则2cosα-sinα=0

所以tanα= =2

评注：观察等式cosα+2sinα=- ，左边是向量 =（2，1）， =（sinα，cosα）的数量积，根据数量积的定义发现两个向量是共线向量，从而利用向量共线的坐标表示可快速求出α的正切值。因此，将三角函数与向量相结合又为我们解题开辟了一条新的途径。

所以，在解题过程中，多思，多想，多练。就会有一些奇思妙解，就会有一些出其不意的想法。

编辑 谢尾合