双曲线问题的几个易错点

甘淑清

在三类圆锥曲线当中，双曲线的问题是最复杂，也是变化最灵活的。双曲线的问题，要求我们在解题时，密切注意双曲线的一些易错点。就可化难为简，以下几个问题，就是双曲线问题中需要时刻注意的。

一、求双曲线方程的步骤：先定型，再定位，后定量

其实，在求任何一类圆锥曲线方程的时候，我们都要遵循以上方法，先定型就是要求我们根据圆锥曲线的定义，判断出曲线类型是椭圆还是双曲线，或者是抛物线，特别在双曲线的定义中，平面内到两定点F1，F2距离之差的绝对值为常数2a，即PF1-PF2=2a（2aF1F2时，其轨迹不存在。其次还需要注意“绝对值”三个字不可少，否则，其图像为双曲线的一支。再定位，就是在判断出轨迹类型后，接下来需要关注的焦点位置是在x轴还是y轴，焦点位置直接影响到方程形式，是学生最容易忽视的问题，后定量，就是根据条件，求出 曲线方程。

例1.已知⊙A∶x2+（y-2）2=4，动圆N恒过定点B（0，-2）且恒与⊙A相外切，求动圆心N的轨迹方程。

解：根据题意，可知，圆心距=R+r

即NA=2+r=2+NB，得到NA-NB=2

N轨迹为以A、B为焦点的双曲线的下支，设双曲线方程为 - =1

有定义得到2a=2，2c=4故b2=3

双曲线方程为y2- =1（y≤1）

（注：本题初学者在解题时容易犯两个错误，一为判断焦点位置，不少同学总是习惯于设出焦点在x轴的双曲线，导致方程形式的错误，二为需要注意本题得到的并不是整条双曲线，而只是它的一支，需画出草图，以便正确地取舍。）

二、双曲线的第二定义的准确理解

双曲线的第二定义为：平面内到定点F距离与到定直线l的距离之比为常数e-（e>1）的点的轨迹为双曲线。关于第二定义，教材并未特别强调顶点F不在定直线l上的限制，其实这个限制相当有必要，否则其轨迹为两条直线（除定点F）。

如上图：当F在直线l上时，定点P轨迹为两条直线，它们与直线l的夹角θ满足sin θ= ，可知，P在这两条直线上移动的时候，满足定义，关于第二定义，经常在选择题中考查类似这样的问题。

例2.平面直角坐标系中，点P（x，y）满足 =x-y-2，则P的轨迹为（ ）

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.两条直线

解：方程可变形为 = · ，即P点到定点F（1，-1）的距离与它到直线l∶x-y-2=0的距离之比为定值 >1，但需要注意F在直线l上，故不可选择双曲线，应为两条直线。

三、最短焦点弦问题

我们知道，椭圆中最短的焦点弦为经过焦点且垂直于长轴的弦（即通径，长度为 ，证明略），但是双曲线中，求最短的焦点弦长时，需要比较通径与实轴，当直线与双曲线交于两支时，最短的焦点弦为实轴。当直线与双曲线交于同一支时，最短的焦点弦为

通径。

例3.双曲线x2- =1右焦点为F，过F且弦长为7的直线有几条？

解：如上图实轴长AB=2a=2，通径长为CD= =6，由对称的关系，可知弦长为7的直线有4条，其中两条交于双曲线右支，另外两条交于两侧，我们还能总结出以下结论：若焦点弦长d6，这样的直线有四条。

四、焦半径公式的使用

和椭圆一样，双曲线焦半径公式也是由第二定义推倒得出的，但双曲线的焦半径公式有较多的情况分类，因此，运用焦半径公式之前，一定要分清直线与双曲线是交于左支还是右支，或者两支各有一个交点，正确地使用焦半径公式最为重要。

例4.双曲线x2- =1焦点分别是F1，F2，过左焦点F1斜率 为直线l与双曲线交于A、B两点，求△ABF2周长。

解：（本题不少同学未考虑直线与双曲线的位置关系，误以为直线与双曲线两个交点均在左支，在求AB弦长时就会错误地用焦半径表达，最终无法得到正确答案。）

由于渐近线y=± x，比较斜率易知直线l与曲线交于两支，故周长C=AB+BF2+AF2

=AF1-BF1+BF2+AF2

=（a+exA）-（-a-exB）+（a-exB）+（exA-a）

=2a+e（xA+xB）+e（xA-xB）=2+2（xA+xB）+2（xA-xB）

x2- =1y= （x+2）联立得到8x2-4x-13=0，

得到xA+xB= ，xA-xB= 代入可知周长为3+3 。

双曲线问题虽然形式多样，变化灵活，要准确地把握其知识内容，还是要从基本定义入手，理解定义，做到“咬文嚼字”，另外结合图形特点，遇到直线与其交点的问题，一定要根据与渐近线进行斜率比较，以确定交点位置。很多看似疑难的易错问题就可以迎刃而解。

编辑 谢尾合