一道无理函数值域问题的变式探究

邱明武

题目 函数y=x+ 的值域为 .

函数值域的求法是高中函数教学中的重点，同时也是难点，其常用方法有：观察法、反函数法、分离常数法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、单调性法、求导法、函数的有界性法、数形结合法等等.这道题主要考查无理函数值域的求法，而无理函数值域的常用求法有：单调性法、反函数法、配方法、换元法、求导法、数形结合法、构造解析几何模型法等。首先来探究一下本题的解决方法，如下：

解法1（单调性法）

因为x∈（-∞，1]∪[2，+∞），所以当x∈[2，+∞）时，函数y=x+ 是单调递增的，此时当x=2时，y有最小值2，但无最大值，因此y∈[2，+∞）；当x∈（-∞，1]时，函数y=x+ = +（x- ）+ = + 是单调递减的，此时当x=1时，y有最小值1，但y< ，因此y∈[1， ），所以该函数的值域为y∈[1， ）∪[2，+∞）.

解法2（反函数法）

由于y=x+ （x≤1或x≥2），因此y-x= ，两边平方整理得：x= （y≠ ），令 ≥2或 ≤1得y> 或y< ，但是尤其要考虑的也是很容易忽略的地方：y-x= ≥0，即y-x=y- = ≥0，解得：y≥2或1≤y< ，所以该函数的值域为y∈[1， ）∪[2，+∞）.

这道题的两种解法平时教学多次渗透，学生也知道求值域的一些基本方法，但就是用起来达不到应用自如、熟能生巧、举一反三的地步.观察这道题的结构，不难联想到这道题的变式题又如何求解？下面就让我们来探究一下这道题的变式求解吧.

变式1 求函数y=x-2+ （-1≤x≤2）的值域.

解（单调性法）：∵函数f（x）=x-2，g（x）= 在区间[-1，2]上都是单调递增的.

∴函数y=x-2+ 在区间[-1，2]上也是单调递增的.因此当x=-1时取最小值-3- ，当x=2时取最大值 ，∴该函数的值域为y∈[-3- ， ].

评注 这道题虽含根式看似很复杂，但若分析其单调性来求值域就很简单了.因此对某些求函数的值域或最值问题，可以从函数的单调性角度来考虑.

变式2 求函数y= + 的最值.

解（配方法）：函数y= + ≥1+1=2，当且仅当x=2时有等式成立，所以函数有最小值2，无最大值.

评注 一般地，形如函数y= + （x∈R）当a>0，b>0时在x=m处最小值；当a<0，b<0时在x=m处最大值.若定义域不是R可以根据函数的单调性来求最值.

变式3 求函数y= + 的最值.

解（配方与单调性结合法）：易求函数的定义域：x∈（-∞，0]∪[1，+∞），令f（x）=2x2-3x+2=2（x- ）2+ ，g（x）=x2-x=（x- ）2- ，则当x≥ 时，f（x）递增，x≥ 时，g（x）递增，所以当x≥1时， 与 都递增，其和也递增，故此时y≥ + =1.类似地当x≤0时， 与 都递减，其和也递减，故此时y≥ + = ，所以当x=1时，函数有最小值1，无最大值.

评注 一般的，形如函数y= + （a>0，α>β），当- ∈[α，β]时，可以用本例题的方法求函数的最值.

变式4 求函数y= + 的值域.

解（构造解析几何模型法）：函数y= + 的几何意义是表示动点P（x，1）到定点A（-1，0），B（1，0）的距离之和.易求点B（1，0）关于直线y=1对称点B′（1，2）.当A，P，B′三点共线时，距离最小且为AB′=2 ，故y≥2 ，即值域为：y∈[2 ，+∞）.

评注 此题若从函数的单调性角度来考虑，很容易得到当x∈（-∞，-1]时，函数单调递减；当x∈（1，+∞]时，函数单调递增，但是当x∈（-1，1）时不好判断.若此题从几何意义的角度来考虑就很简单了.

编辑 谢尾合