导数与不等式联姻的解决策略

2015-12-07孙建山

新课程·中学 2015年10期

关键词：恒成立不等式导数

孙建山

摘要：函数是高中数学的主干，导数是研究函数的工具，自2004年新课改以来，以导数为工具讨论函数单调性、求函数最值、恒成立问题的解决等成为高考命题的重点与热点，这类问题学生普遍感觉难度大，就不等式恒成立问题的解决策略和读者做一个交流。

关键词：导数；不等式；恒成立

例1.（2008江苏高考数学第14题）f（x）=ax3-3x+1对于x∈

[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a= .

解法1（分离参数）：由题意可得：ax3≥3x-1在x∈[-1，1]上恒成立.

（1）当x=0时，不等式显然恒成立，此时a∈R.

（2）当x<0≤1时，a≥ 恒成立，则，a≥（）max令g（x）= ，g′（x）= ，所以g（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，则g（x）max=g（）=4，所以a≥4.

（3）当-1≤x<0时，a≤ 恒成立，则a≤（）max令g（x）= ，g′（x）= ，所以g（x）在（-1，0）上单调递增，则g（x）min=4，所以a≤4.

综上：a=4.

此解法通过分离参数转化成a≥h（x）或者a≤h（x），然后求h（x）的最值，当然有些题目也可以转化成ag（x）≥h（x）或者ag（x）≤h（x）[也就是说不需要把与a（也可能是关于a的参数团）相乘的关于a的代数式都除到另一边]，当然ag（x），h（x）最好是我们比较熟悉的一些函数，然后通过图像等方法求出a的数值或者范围.

解法2（求函数最值法）：由题意可得：f（1）≥0f（-1）≥0，解得：

2≤a≤4，f′（x）=3ax2-3令f′（x）=0解得x=± x∈（-1，1），则f（x）在（-1，- ）上单调递增，在（- ，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（）≥0f（-1）≥0解得：a≥4，综上：a=4.

此解法并未上来就求导讨论导函数的符号，而是通过取特值先适当缩小参数a的范围，然后再求导，这样在许多的情况下可以适当简化讨论.

另解：f（-1）≥0f（1）≥0f（）≥0解得：a=4.此解法不具有一般性，仅供参考.

例2.（2015山东高考数学理第21题）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（2）若？坌x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范围.

解法3（研究导函数的符号）：（1）略.（2）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），f（0）=0，要使？坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需函数f（x）在（0，+∞）上单调递增即可，于是只需？坌x>0，f′（x）= +a（2x-1）≥0成立，

当x> 时a≥- =- ，- ∈（0，+∞）则a≥0；

当x= 时，f′（）= >0，则a∈R；当01时f ′（x）= ，设g（x）=2ax2+ax+1-a此时Δ>0，设g（x）=0的两个不相等的实数根x1，x2，且x1<- 1- 时ax2+（1-a）x<0，此时f（x）<0，不符合题意.综上：0≤a≤1.

此解法借助导函数的符号确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求参数的范围.解法1和解法2同样适用此题.

下面笔者选两题可供读者练习：