一道二元函数题的解法再探

陈凯晨

有这样一道例题：已知v∈R+，u∈[- ， ]，求函数y=（u-v） +（ - ） 的最小值.采用构造圆锥曲线法、数形结合法求其最小值，方法新颖且快速方便，值得学习.笔者经过探究后，得出另外三种解法，供大家学习参考.

解法1 构造二元函数f（u，v）=（u-v） +（ - ） （v∈R+，u∈[- ， ]），则f（u，v）=（u-v） +（ - ） =v2+ +2-2[u·v+ · ].

不妨令u= sinθ（- ≤θ≤ ），则 = cosθ，

所以f（θ，v）=v2+ +2-2[ sinθ·v+ cosθ· ]

=v2+ +2-2 [sinθ·v+cosθ· ]

=v2+ +2-2 ·sin（θ+φ）

（其中tanφ= ，φ∈（0， ））

因为sin（θ+φ）∈[-1，1]，则-2 ·sin（θ+φ）∈[-2 ，2 ]，

所以f（（θ，v）≥v2+ +2-2 ，令 =t，

则t= ≥ =3 （当且仅当v2= ，v=3时取等号），

又令函数h（t）=t2-2 t+2（t≥3 ），易知当t=3 ，

h（t）min=8，

因此f（（θ，v）≥8，即f（（u，v）≥8，故ymin=8.

评注 此题解法虽然有点曲折，但思路清晰，用到的知识点也是常用的，如构造函数、三角代换、基本不等式、二次函数的最值等，关键是能否把这些知识点串联起来解决问题。

解法2 ∵？坌a，b∈R，a2+b2≥ （当且仅当a=b时取等号）

∴（u-v） +（ - ） ≥

=

∵v>0，∴-（v+ ）≤-2 =-6（当且仅当v=3时取等号）.

令u= sinθ（- ≤θ≤ ）则u+ = （sinθ+cosθ）=2sin（θ+ ）∈[-1，2].

因此[u+ -（v+ ）]≤-4，且当u+ =2sin（θ+ ）=2，-（v+ ）=-6，

即v=3，θ= ，u=1时，u+ -（v+ ）=-4，同时u-v= - =-2，

故 ≥8，

∴（u-v） +（ - ） ≥ ≥8（当且仅当v=3，u=1时，两不等式同时取等号），所以ymin=8.

解法3 ∵？坌a，b∈R，a2+b2≥2ab（当且仅当a=±b时取等号）

∴（u-v） +（ - ） ≥2（u-v）·（ - ），令u= sinθ（- ≤θ≤ ），则2（u-v）·（ - ）

=29+2sinθcosθ- vcosθ- sinθ· ）

=29+2sinθcosθ- ·sin（θ+φ）（其中cotφ= ，φ∈（0， ）），

又∵ ≥ =3 （当且仅当v2= ，v=3时取等号，φ= ）故9+2sinθcosθ- sin（θ+φ）≥

9+2sinθcosθ-3 （sinθ+cosθ）

不妨令sinθ+cosθ=m（- ≤θ≤ ，-1≤m≤ ），

则9+2sinθcosθ-3 （sinθ+cosθ）=m2-3 m+8∈[4，9+3 ]

所以当m= ，θ= ，u=1，v=3时，（u-v）（ - ）有最小值4，且u-v= - =-2，两不等式可以同时取等号，所以ymin=8.

评注 此题若用不等式a2+b2≥ 或a2+b2≥2ab求解时，难点一在于右边两不等式不是定值，而是一个二元函数，但两个二元函数可以借用于一元函数最值的求法可求出其最小值.难点二在于两个等号能否同时成立，此题还好，两个等号刚好同时成立，若不能同时成立难度更大了.

对比上述解题方法，这些方法各有侧重点，这就要求我们数学教师平时在数学教学时对数学思维方法方面要下足工夫，因为不同的解题方法带来不同的效果，所以，自身平时要多学习，多思考，多总结，为学生积累更多更好的数学思维方法创造良好的条件.

参考文献：

仲济斋.构造圆锥曲线求最值[J].中学数学：湖北，2005（12）.

编辑 王团兰