活用“1”的代换解题

邱芳忠

“1”的作用在高中数学解题中不可小视，代换的得当，会给你的解题带来便捷，下面就以实例为据，来谈谈“1”到底能给解题带来多大的便捷？

一、“1”在比较两个实数的大小中的代换

例1.比较两个数（ ） 与（ ） 的大小.

解：首先考查函数y=（ ） ，在x∈R上是减函数，∵- <0，

∴（ ） >（ ） =1.然后考察函数y=（ ） ，在x∈R上是增函数，∵- <0，∴（ ） <（ ） =0.综上所述，（ ） >（ ） .

评注：比较两个既不同底数与又不同幂的指数大小，除了要用到指数函数的单调性，还要引进“1”作为中间量，以起到纽带作用.

例2.比较两个数log2.13与log3.12.9的大小.

解：首先考查函数y=log2.1x，在x∈R+上是增函数，∵3>2.1，

∴log2.13>log2.12.1=1.然后考查函数y=log3.1x，在x∈R+上是增函数，∵2.9<3.1，∴log3.12.9log3.12.9.

评注：比较两个既不同底又不同真数的对数的大小，除了要用到对数函数的单调性，还要引进“1”作为中间量，以起到纽带作用.

二、“1”在三角函数式化简与求值中的代换

例3.求 的值.

解：∵tan45°=1，∴ = =tan（45°-15°）=tan30°= .

评注：“1”代换tan45°后利用两角差的正切公式进行求值.

例4.已知 =-1，求sin2α+sinαcosα+2的值.

解：由已知得tanα= ，则

sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2（sin2α+cos2α）

= =

= =

评注：“1”代换后首先要进行弦化切，然后再代值.

三、“1”在证明不等式中的代换

例5.已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1求证： + + ≥9.

证明：∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1，

∴ + + = + +

=3+ + + + + +

=3+（ + ）+（ + ）+（ + ）≥3+2+2+2=9.

当且仅当a=b=c时，等号成立.

评注：解答本题可以先使用“1”的代换，再转化使用重要不等式来证明.

四、“1”在求函数最值中的代换

例6.已知x>0，y>0，且 + =1求x+y的最小值.

解：∵x>0，y>0，且 + =1，

∴x+y=（ + ）（x+y）= + +10≥6+10=16.

当且仅当 = ，又 + =1，即x=4，y=12时，上式等号成立.

故当x=4，y=12时，（x+y）min=16.

评注：解答本题可灵活使用“1”的代换，再用基本不等式求得和的最小值.

编辑 鲁翠红