二次函数的“隐形”应用

胡上生

二次函数是高中最重要的基本初等函数之一，是各章节知识之间连接的纽带与载体.有这样一类函数，表面上看起来不是二次函数，但实际上换元之后得到一个二次函数，由此可以利用二次函数的性质来解决这类问题，像这类函数称之为“隐形”的二次函数.下面笔者通过具体实例来认识二次函数的“隐形”应用.

例1.函数y=x+4 （x≤1）的值域为 .

简解：令 =t，则x=1-t2，t2≥0，所以y=-t2+4t+1=-（t-2）2+5（t≥0），根据图象易得y∈（-∞，5].

例2.关于x的方程9x+（4+a）3x+4=0有两个实数解，则实数a的取值范围是 .

简解：令3x=t，则t>0，从而问题就等价转化为一元二次方程t2+（4+a）t+4=0在（0，+∞）上有两个实根.再令f（t）=t2+（4+a）t+4（t>0），

则有Δ=（4+a）2-16>0- >0f（0）=4>0解得a<-8.

例3.已知函数f（x）=log x-log x+5（x∈[2，4]），求f（x）的最大值与最小值.

简解：令log x=t，因为x∈[2，4]，所以t∈[-1，- ]，则原函数等价于g（t）=t2-t+5=（t- ）2+ ，易知g（t）在t∈[-1，- ]上单调递减，则g（t）∈[ ，7]，所以f（x）max=7， f（x）min= .

例4.若关于x的方程cos2x-2cosx+m=0有实数根，则实数m的取值范围是 .

简解：原方程等价于m=-cos2x+2cosx，由于cos2x=2cos2x-1，

所以m=-2cos2x+cosx+1，m是关于cosx的二次函数，这就是一个二次的值域问题，由cosx∈[-1，1]，容易得到m∈[-3， ].

例5.设函数f（x）=ax2-2x+2，对于满足10，求实数a的值.

简解：由于原二次函数的开口方向及对称轴都未知，所以利用分离变量的方法，将ax2-2x+2>0转化成a>- + ，对满足1 .

通过上述几例，不难发现“隐形”的二次函数其实就是外层函数为二次函数，内层函数为各类函数的复合函数，它在高中数学解题中有着广泛的应用，并且运用过程中又贯穿着函数与方程，转化与归化，分类与整合等重要的数学思想方法.

编辑 孙玲娟