一道高考题的多种证法

林庆章

题目 （2011年陕西高考文科数学第18题）叙述并证明余弦定理.

分析：本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识的学习和巩固.

解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2=b2+c2-2bc cos A，b2=c2+a2-2ca cos B，c2=a2+b2-2ab cos C.

=b2-2bc cos A+c2

即a2=b2+c2-2bc cos A，

同理可证b2=c2+a2-2ca cos B，

c2=a2+b2-2ab cos C.

评注 上述证法利用了向量数量积公式与向量数量积的性质.

证法2（解析法） 已知△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图2所示，则C（b cos A，bsinA），B（c，0），∴a2=BC2=（b cos A-c）2+（bsinA）2=b2 cos2 A-2b cos A+c2+b2 sin2 A=b2+c2-2bc cos A，

即a2=b2+c2-2bc cos A，

同理可证b2=c2+a2-2ca cos B，

c2=a2+b2-2ab cos C

评注 上述证法利用了向量坐标下的模长公式，但要合理恰当地建立平面直角坐标系.

证法3（平面法） 如图3所示，过点A作BC的高AD，垂足为D，在Rt△ADB中，AD=csinB，BD=csinB，DC=a-csinB，在Rt△ADC中，根据勾股定理，AC2=AD2+DC2，

即b2=（c sinB）2+（a-c sinB）2，

整理，得b2=a2+c2-2ac cos B，

同理可证a2=c2+b2-2cb cos A，c2=a2+b2-2ab cos C.

评注 上述证法利用了解直角三角形的知识，还有勾股定理的应用.

证法4（分析法） 欲证a2=c2+b2-2cb cos A，只需证0=0，

只需证sin2（B+C）=sin2C+sin2B+2sinBsinCcos（B+C），

即证（sinBcosC+cosBsinC）2=sin2C+sin2B+2sinBsinC（cosBcosC-sinBsinC），

即证sin2Bcos2C+cos2Bsin2C=sin2C+sin2B-2sin2Bsin2C，

即证（sin2Bcos2C+sin2Bsin2C）2+（cos2Bsin2C+sin2sin2Bsin2C）=sin2C+sin2B，

只需证sin2B（cos2C+sin2C）+sin2C（cos2B+sin2B）=sin2C+sin2B，

即证sin2B+sin2C=sin2C+sin2B，

即证0=0，此等式显然成立，所以a2=c2+b2-2cb cos A成立；

同理可证b2=c2+a2-2ca cos B，c2=a2+b2-2ab cos C.

评注 上述证法用的是分析法，还要用到正弦定理，以便把边转化为角进行化简，最后得到一个显然成立的式子.

编辑 韩 晓