关于中值定理证明中辅助函数的构造

张芝华

摘要：构造辅助函数是高等数学证明中常用的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁作用，特别是在应用中值定理证明问题时，需要构造辅助函数。如何才能找出合适的辅助函数，在教学实践中人们总结出了多种方法，本文通过几个实例着重介绍如何使用原函数法构造辅助函数的方法。

关键词：中值定理;辅助函数;构造方法

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）45-0153-02

一、引例

例1：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，证明在（a，b）内至少存在一点ξ使

=f（ξ）+ξf ′（ξ）

证明：令φ（x）=x·f（x）

φ（x）满足拉格朗日中值定理条件，

∴在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ′（ξ）=

？圯f（ξ）+ξf ′（ξ）=

上题结论中要证明f（ξ）+ξf ′（ξ）=0，那么对于这类题目有没有方法来构造辅助函数？

我们可以用下面思路来构造辅助函数。

1°将ξ改写成x，f（x）+xf ′（x）=0

2°将上式化为 + =0

3°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx）′=0

4°上式又可以改写成[lnx·f（x）]′=0 所以我们可以令φ（x）=x·f（x）

上面构造辅助函数的方法就是原函数法。

二、证明的结论中含有ξf ′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=x ·f（x）

1°将ξ改写成x，xf ′（x）+kf（x）=0

2°将上式化为 + =0

3°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx ）′=0

4°上式又可以改写成[lnx ·f（x）]′=0 我们可以令φ（x）=x ·f（x）

例2：设f（x）在[0，1]上连续，  f（x）dx=0，证明存在ξ∈（0，1）使

ξf（ξ）=-2   f（t）dt

分析：按上述思路

1°将ξ改写成x，xf（x）+2   f（t）dt=0

2°将上式化为 + =0

3°上式又可以改写成（ln   f（t）dt）′+（lnx ）′=0

4°上式又可以改写成[lnx ·   f（f）dt]′=0

我们可以令φ（x）= x ·   f（t）dt

证明：令φ（x）= x ·f（t）dt

φ（0）=φ（1）=0

？埚ξ∈（0，1） 使φ′（ξ）=0

φ′（x）=2x·   f（t）dt+x f（x）

φ′（ξ）=2ξ·   f（t）dt+ξ f（ξ）=0

即：ξf（ξ）=-2  f（t）dt

三、证明的结论中含有f ′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=e ·f（x）

1°将ξ改写成x，f ′（x）+kf（x）=0

2°将上式化为 +k=0

3°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lne ）′=0

4°上式又可以改写成[lne ·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=e ·f（x）

例3：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，

f ′ （a）·f ′ （b）>0.

证明（1）？埚c∈（a，b）使f（c）=0

（2）？埚ξ ，ξ ∈（a，b）使f ′（ξ ）-f（ξ ）=0和f ′（ξ ）-f（ξ ）=0

证明：（1）不妨设f ′ （a）>0，f ′ （b）>0

由f ′ （a）>0？圯？埚x ∈（a，b）使f（x ）>f（a）=0

由f ′ （b）>0？圯？埚x ∈（a，b）使f（x ）

？圯f（x ）·f（x ）<0

由零点定理得？埚c∈（a，b）使f（c）=0

（2）令φ（x）=e ·f（x）

∵φ（a）=φ（c）=φ（b）=0

∴？埚ξ ∈（a，c），？埚ξ ∈（c，b）使φ′（ξ ）=φ′（ξ ）=0

而φ′（x）=e ·（f ′（x）-f（x））=0且e ≠0

f′（ξ ）-f（ξ ）=0

f′（ξ ）-f（ξ ）=0

四、证明的结论中可以化为以上两种形式，我们可以用原函数法构造辅助函数

例4：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，

f ′ （a）·f ′ （b）>0.

证明？埚η∈（a，b）使f  ″（η）-4f ′（η）+3f（η）=0

分析：

1°将ξ改写成x，f  ″（x）-4f ′（x）+3f（x）=0

2°将上式化为（f ′（x）-f（x））-3（f ′（x）-f（x））=0

3°将（f ′（x）-f（x））看成f ′（x）+kf（x）=0中的f（x）

4°我们可以令φ（x）=e ·（f ′（x）-f（x））

证明：令φ（x）=e ·（f ′（x）-f（x））

？埚η ，η ∈（a，b）使φ（η ）=φ（η ）=0

？堝η∈（a，b）使φ′（η）=0

φ′（x）=-3e ·（f ′（x）-f（x））+e （f ″（x）-f ′（x））

=e （f  ″（x）-4f ′（x）+3f（x）） ∵e ≠0

？圯f  ″（η）-4f ′（η）+3f（η）=0

从以上例子我们可以看到用原函数法构造辅助函数的步骤为：

1°将要证的结论中ξ改写成x

2°移项使等式一边为零

3°用观察法或积分法求出原函数

4°这个原函数就是我们要找的辅助函数