反例在近世代数中的作用和构造方法

李永玲++李煜玲

【摘要】在日常的学习和生活中，人们会经常因为某一个问题“费尽心机”也还是不得其解，但若是从问题的另一个角度进行反面思考的话，却能起到意想不到的效果，这种方式就是反例，而且这种方法在数学的教学过程中最能体现出其精髓。本文将通过简要介绍近世代数的概念引出反例的作用，并对反例的构造方法进行介绍。

【关键词】近世代数 反例作用 构造方法

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）02-0172-02

引言

近世代数主要探讨的是代数系统的性质和构造的一门数学学科，是上世纪初形成的代数学结构体系，成为当今现代数学研究分支的基础，同时也是数学专业学生的重要基础课程之一，但是近世代数的课程理论较多，并且具有高度的抽象性，学生学习和掌握的效果并不让人十分满意，如何提高近世代数的教学效率和学生学习成绩成为数学教育工作者的重点研究内容。构造反例是通过否定命题的方式对数学命题进行说服论证，因而对于数学命题特别是近世代数的教学内容具有十分重要的意义。

一、近世代数反例的要点

在数学中的反例，就是指出某一命题不成立的例子。早在十七世纪，数学家费马曾说当n是自然数的时候就是质数，而后来这一观点被欧拉以当n为5是质数的反例论证的方式将费马的观点予以推翻，由此，后来的人们开始通过对反例的运用来论证观点的正确与否。

1.反例可以对命题的真假进行判断。在近世代数中，有一些数学命题或者是数学例子往往通过正面论证很难完成，计算量太大，效率不高而且又浪费时间。而通过用特殊方法或者是特殊值的形式进行检验，如果将特殊值进行代入不能够满足命题的条件和公式，则能够说明该近世代数的命题肯定是不成立的，因此，这种反例的形式十分简明而且准确。

2.反例可以对概念加深理解。近世代数是一门抽象性学科，而数学概念只能通过理解才能加深印象真正掌握，通过反例的形式能够加深学生对于抽象数学概念的认识和理解。比如说，对于定理和的乘法来说同态，如果是群，那么也是群。那么反过来是否也正确呢？我们可以通过反例论证，设={n|不能被3整除的整数}，={1，-1}，设是到的同态满射，那么当时，n被3整除其余数为1，而若是等于-1时，n被3整除余数为2，尽管是到的同态满射，可以得到和同态，但是是群，不是群。这样通过反例的形式能有效加深概念理解。

3.反例可以用来区分概念性质。在近世代数的学习过程中，会有很多数学定理非常相似，很难让人能够准确区分，譬如同态映射和同构映射、群同构和群同态、零理想和单位理想等等都是一字之差，很容易让学生混淆。通过构造反例则能够很清楚地对反例概念进行区分。比如说，若存在满射的话，，使b，那么（ab）=（a）（b），是群同态满射，和同构。若存在双射的话，，依据上述条件，（ab）=（a）（b），是群同构映射，和同构。这就使得对于群和群是同构还是同态的区别标志就是是否存在满射或是双射，通过反例则非常容易进行区分。假设={[2]，[3]}，B={2，3}，进行映射：，[2]2，[3] 3，那么是到的同构映射，就表示和同构。

二、近世代数中构造反例的方法

1.否逆构造反例法。否逆构造法反例的方法是通过否定结论的方式反过来倒推寻找命题成立的条件，从而进行反例的构造。例如：假设有群和群，如果和是同态，那么和是同态满射。可以对此假设进行分析，如果要想使得两个群同态的话，那么这两个群必须是同态满射；而如果是这两个群不同态的话，那么只需要通过选取一个元素比群少的就可以。由此就能通过反例进行论证，任意选取一个群和另一个群，作映射（n）=1（n），那么就可以称群到群是同态满射，则和也是同态。这样通过对近世代数命题进行否逆构造反例的方法来论证命题的真假。

2.逆向构造反例法。逆向构造反例的方法是通过对结论的证明成立从而推导命题的成立条件，再对反例进行构造。例如：“阶是素数的群就一定是循环群”的逆命题“循环群的阶一定是素数”不成立。可以进行分析，如果说逆命题成立的话，那么就说明所有的循环群的阶都是素数；而如果要使其结论不成立的话，那么就只需要构造一个阶是偶数的循环群，就能够对结论进行否定了。由此可以通过反例来进行论证，循环群={[1]，[2]}=（[1]）是一个阶为偶数的群，那么就否定了“循环群的阶一定是素数”的命题。

3.顺向构造反例法。顺向构造反例法是通过遵循否定性原则的基础上利用符合的条件对结论进行否定，顺着命题的方向来进行反例的构造。例如：“有限群的每一个元的阶都有限”，其逆命题“每一个元的阶都有限的群是有限群”不成立。可以对此进行分析，假设群的每一个元的阶都有限，那么就会存在nN使得X的n次方等于e，这样就使得群成为无限群，n可以取任何值。由此可以进行反例构造，假设群包含的x的n次方，x是复数的话，那么对于群普通乘法作为一个群[5]，单位元等于1。可以使得x的n次方等于1，那么群中每一个元的阶都是有限的，但是群是无限群。

三、结语

综上所述，对于近世代数的数学命题的验证或者是数学概念定理的理解，不是对所有的知识点和想法都只能够是集中在正面生搬硬套地进行解答，特别是对于近世代数这类非常灵活的学科而言，要尝试从不同的角度进行思考论证。反例方法对于近世代数具有重要的作用，因此，在教学过程中，要十分注重对学生反例思维的培养，让学生能够多角度、辩证地思考问题，更好地掌握和学好近世代数。

参考文献：

[1]徐为坚. 近世代数反例的作用和构造方法[J]. 玉林师范学院学报，2010，02：2-6.

[2]王珍萍. 近世代数反例的作用和构造方法[J]. 邢台学院学报，2013，04：174-176.

[3]王敏秋. 近世代数课程的教学思考[J]. 科技创新导报，2014，35：177-178.

[4]沈邦玉. 浅谈近世代数的教学要求[J]. 淮阴师范学院教育科学论坛，2008，04：65-67.