远程弹道导弹射程评定技术研究

肖 凡 张 涛 李建辉

1.海军潜艇学院，青岛266042

2.海军装备研究院，北京100161

射程是指导弹发射点与弹着点之间沿地球大圆测量的距离，是弹道式导弹的重要性能指标之一［1］。导弹的实际射程是在受地球自转影响下，旋转椭球体上两点之间的大地线长(椭球面上两点间最短程曲线)。射程评定一般评估导弹的固有飞行能力，因此一般采用基于静止地球模型的约束条件。受靶场条件和研制经费限制，远程(或者洲际)导弹飞行试验子样少，且难以进行全程飞行试验，这给射程评定，尤其是最大射程评定带来了挑战。文献［2 －3］考虑了先验信息可信度，提高了Bayes 估计的可信度;文献［4］应用T 统计估计方法对弹道导弹的最大射程进行了评定，并与Bayes 方法评定结果进行比较;文献［5］编制了相关的计算程序，使导弹射程能力评定摆脱了查表计算的复杂过程。美国夸贾林环礁导弹试验靶场，位于太平洋中部马绍尔群岛夸贾林环礁，夏威夷西南约3890km 处。美国在该靶场可进行远程(或者洲际)导弹的全程飞行试验，而且美国进行的远程(或者洲际)导弹试验次数多，因此，其射程评定具备直接利用飞行结果、采用经典概率统计方法的条件，即使如此，美国也十分重视小子样评定方法的研究。1984年9月，美军就采用Bayes 小子样理论对“潘兴II”导弹的精度和可靠性进行了评定。俄罗斯非常重视小子样评定方法的研究，其射程评定一般基于几发小子样进行，其对经验分布函数和不确定性极大值原理等问题的研究十分深入［6］。这些研究成果给远程导弹最大射程评定提供一定的技术支撑。射程评定包含子样生成、评定方法及软件设计等多方面内容，从工程实施的角度全面论述上述内容的研究成果目前鲜有报道，本文将对此进行深入研究，为远程弹道导弹射程评定工程实施提供方法指导和参考。

1 评定流程

如前所述，远程导弹射程评定试验样本为小子样，需要选取适当的方法进行评定;评定方法确定后就需要确定参与评定的子样，由于直接可用的飞行试验子样很少甚至没有，因此，需要生成评定子样;计算射程和射程估计是评定的最后环节，实现这一工作的软件化，能够有效提高计算速度和重用性。上述过程如图1 所示。

图1 评定基本流程

下文将对上述流程步骤进行深入研究。

2 子样生成方法

评定样本分为飞行试验样本和补充样本两部分。飞行试验样本由飞行试验数据经过最大射程飞行程序弹道仿真而成;补充样本由未参与飞行试验的导弹的相关数据通过最大射程飞行程序弹道仿真生成。

为了使生成的子样更接近真实情况，弹道仿真时应该对各种误差视情况处理。

1)初始误差

初始误差是指在动基座发射方式下，发射时导弹的定位、定向及初速误差。对于飞行试验样本，这部分误差可以通过试验数据误差分离得到;对于补充样本，则可以采取随机抽样的方法获取。静基座发射方式下，这部分误差无需考虑。

2)制导工具误差

对于飞行试验样本，这部分误差可以通过飞行试验数据误差分离得到;对于补充样本，则可以采用地面测定的平台误差系数，制导时进行实时修正。

3)制导方法误差

随着制导方程的不断完善，在进行导弹射程评定时可以不考虑［7］。

4)后效误差

在加入小推力末修发动机后，后效误差的影响可以不再考虑［7］。

5)再入误差.

再入误差主要包括零攻角再入误差、大气参数偏差、风干扰和烧蚀误差等，由于最大射程评定一般选取既定的标准条件［2］，因此这部分误差也无需考虑。

考虑误差后子样生成方法可用图2 表示。

图2 最大射程评定子样生成步骤

3 评定方法

评定方法由研制方和使用方进行商定，确定样本一致性检验方法、假设检验方法和射程估计方法。

3.1 样本的一致性检验

远程导弹最大射程评定样本可以分为飞行试验样本和补充样本，在评定时应进行飞行试验样本和补充样本的一致性检验。一般采用秩和检验法或SHAPIRO-WILK 检验法［8］。

3.1.1 秩和检验

原假设H0:飞行试验样本和补充样本属于同一样本总体;

备择假设H1:飞行试验样本和补充样本不属于同一样本总体。

步骤如下:

Step1:将容量为n1的飞行试验样本、容量为n2(n1≤n2)的补充样本合二为一，样本容量为n =n1+ n2，将样本值按从小到大的次序排列，求出每个样本值的秩，然后将属于飞行试验样本的秩求和，其值记为R1，称为飞行试验样本的秩和，同理可得补充样本的秩和，其值记为R2;

Step2:根据样本容量(n1，n2)和检验的显著性水平α，查秩和临界值表，若R1在临界值范围之内，则接受H0;否则拒绝H0，接受H1。

3.1.2 SHAPIRO-WILK 检验

原假设Ha:飞行试验样本和补充样本属于同一正态样本总体;

备择假设Hb:飞行试验样本和补充样本不属于同一正态样本总体。

步骤如下:

Step1:将容量为n1的飞行试验样本、容量为n2的补充样本合二为一，样本容量为n =n1+n2，按非降次序将样本值排列成如下的序列

Step2:按如下的公式计算参数b

当n 为偶数时，k = n/2;当n 为奇数时，随机变量序列的中间数不利用，令k = (n － 1)/2，系数an－i+1可通过查数表得出;

Step3:计算W 统计量

Step4:根据样本容量n 和检验的显著性水平a，查统计量W 的分位数数表，得临界值Wkp(n，a)，使之与统计量W 的值相比较，若W ≥Wkp(n，a)时，则接受Ha;否则拒绝Ha，接受Hb。

3.2 假设检验

Step2:按照研制、使用双方风险均等的原则确定研制方风险α;

Step3:计算拒绝域边界值C，满足

式中，fδ0(t)的自由度为n － 1，非中心参数为δ0的非中心t 分布概率密度，为标准正态分布反函数。

Step4:计算统计量T

式中，L0为研制要求中规定的最大标准射程指标。

Step5:检验判定

当T ≥c 时，判断最大射程指标合格;

儿时，我就很喜欢阅读课外书籍。那时候，家里没有多余的闲钱购买书籍，于是我便时常与那些家里有藏书的上海知青子女交朋友，目的就为了便于到他们家中借阅书籍。

当T ＜c 时，判断最大射程指标不合格。

Step6:计算使用方风险β。

3.3 射程估计

一般采取下面2 种方法进行射程估计。

3.3.1 置信下界估计

在飞行试验样本和补充样本无显著性差异的条件下，将飞行试验样本和补充样本合为一个样本，进行最大标准射程的置信下界估计。

当置信水平为1 － α 时，最大标准射程的置信下界估计为:

式中，t1－α(δ，n －1)的自由度为n －1，非中心参数为δ 的非中心t 分布的分位数。

3.3.2 Bayes 点估计

设有最大标准射程的飞行试验样本(L1，L2，...，Ln1)与补充样本

则最大标准射程的Bayes 点估计可写成

式中，

4 系统设计及算例

4.1 系统设计

依据前文所述，可以将远程导弹评定技术设计成软件，基本架构及信息关系如图3 所示。

图3 系统架构及信息关系

图中，最大射程仿真模块进行导弹的六自由度仿真，样本基本数据包含飞行试验数据和未参与飞行试验的导弹的相关数据。一致性检验模块对飞行试验样本和补充样本进行SHAPIRO-WILK 检验及秩和检验。假设检验模块对是否满足最大射程指标进行检验。射程估计模块对最大射程进行点估计和置信下界估计。

本文所设计的软件主要界面如图4 和5 所示。

图4 一致性秩和检验

图5 假设检验

4.2 算例

某远程导弹进行4 发飞行试验，折算后对应的最大射程飞行试验样本如表1 所示;该型号导弹地面试验积累数据较多，搭配3 发导弹样本，获取3 发最大射程补充样本，如表2 所示。运用本文研发的软件，一致性检验取显著性水平为0.05;假设检验研制方风险取0.2，概率水平取0.99，最大标准射程指标为5500km;射程估计时置信水平取0.8，概率水平取0.99。

表1 飞行试验样本

表2 补充样本

检验结果如下:样本一致性检验通过，属于同一母体样本;最大假设检验结果认为满足最大射程指标要求。

射程估计结果如下:最大射程Bayes 点估计为5591044.9m;置信下界为5589918.8m。

5 结束语

射程是远程导弹重要的战术技术指标，其定评涉及弹道仿真、小子样数据分析方法等领域。本文从流程、计算方法及子样生成方法3个方面全面论述了远程导弹射程评定技术。在此基础上，设计了软件架构并给出了实现示例。文中论述的评定技术具有很强的操作性，便于工程实施。在此基础上，若能集成多种评定方法，丰富评定方法计算模块，将有利于评定结果的对比，这有待继续研究。

［1］祝强军，唐硕.弹道式导弹最大射程优化研究［J］.科学技 术 与 工 程，2007，17 (10):2446-2449. (ZHU Qiangjun，TANG Shuo. Research on Maximum Range Optimization of Ballistic Missile［J］. Science Technology and Engineering，2007，17(10):2446-2449.)

［2］李刚，鲜勇，王明海.弹道导弹最大射程评定的Bayes方法［J］. 弹道学报，2009，21(3):74-76. (LI Gang ，XIAN Yong，WANG Minghai. Bayesian Method for Evaluating Ballistic Missile’s Maximum Range［J］. Journal of Ballistics，2009，21(3):74-76.)

［3］李鹏波，谢红卫，张金槐. 考虑验前信息可信度时的Bayes 估计［J］. 国防科技大学学报，2003，25(4):107-110.(LI Pengbo，XIE Hongwei，ZHANG Jinhuai.Bayesian Estimation While Considering the Credibility of the Prior Information［J］. Journal of National University of Defense Technology，2003，25(4):107-110.)

［4］王瑞臣，李建林，杨海波.弹道导弹最大射程评定的T统计估计法［J］. 舰船科学技术，2012，34(12):91-94.(WANG Ruichen，LI Jianlin，YANG Haibo. T Statistics Method for Evaluating Ballistic Missiles Maximum Range［J］. Ship Science and Technology，2012，34(12):91-94.)

［5］金星，洪延姬，文明，等.导弹射程能力评定数值分析优化方法［J］. 弹箭与制导学报，2001，21(4):1-3.(JIN Xing，HONG Yanji，WEN Ming，et al. A Optimized Numerical Analysis Method of Missile Range Capacity Evaluation［J］. Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2001，21(4):1-3.)

［6］张湘平.小子样统计推断与融合理论在武器系统评估中的应用研究［D］. 国防科学技术大学，2003.(ZHANG Xiangping. Researches on the Small Sample Statistical Inference and Fusion Theory and Its Application to the Assessment of Weapon System［D］. National University of Defence Technology，2003.)

［7］王明海，马清华.评估导弹命中精度的一种工程实用方法［J］. 飞行力学，2004，22(1):68-70. (WANG Minghai，MA Qinghua. An Engineering Method of the Missile Impact Accuracy Evaluation［J］. FLIGHT DYNAMICS，2004，22(1):68-70.)

［8］张金槐，贾沛然，唐雪梅. 远程火箭精度分析与评估［M］.长沙:国防科技大学出版社，1995.(ZHANG Jinhuai，JIA Peiran，TANG Xuemei. Precision Analysis and Evaluation of Long Range Rocket［M］.Changsha:National University of Defence Technology Press，1995.)