浅谈高等数学知识在课堂教学中的应用

谢秋玲

摘要：充分地全面地培养学生的应用意识、兴趣和能力，教师应在课堂教学过程中有意识地引导学生用所学的数学知识、方法去观察、分析、解决实际问题.

关键词：高等数学;应用能力;实际问题

中图分类号：G642.0    文献标志码：A    文章编号：1674-9324（2015）46-0189-02

数学教育要教给学生的不仅仅是数学知识，还要培养学生应用数学的意识、兴趣和能力，让学生学会用数学的思维方式观察周围的事物，用数学思维方法分析、解决实际问题.当代著名数学家、教育家、Wolf奖获得者H.惠特尼指出：“学数学意味着什么？当然是希望能用它，最好的学习就是用，并且古今皆知仅在你有自己的想法时才有真正的学习.”著名数学教育家H.弗洛登塔尔指出：“数学源于现实，并且用于现实.”众所周知，大学生数学建模竞赛利于培养学生应用意识和应用能力，可惜只能有部分学生参与这项竞赛.为了适应培养应用型人才的需要，充分地、全面地培养学生的应用意识、兴趣和能力，最根本的还需要从课堂教学做起，教师在讲授高等数学内容的同时，有意识地引导学生用所学数学知识、方法去观察、分析、解决实际问题.以下是在高等数学教学过程中，可针对不同内容，引导学生分析解决实际问题的几个例子.

一、微分学内容的应用

例1.有一个滑雪场的坡面是光滑曲面∑：

在坡上的点P   处有一运动员，问运动员从该处沿什么轨迹下滑时的路径最短？

解：本题需要掌握梯度的概念和含义.

设下滑的轨迹在xoy面上的投影为L：y=y（x），记坡面函数为z=f（x，y），则由函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系可知，L在（x，y）处的切向量与等高线（m为常数）在该点的法向量平行，也即与函数z=f（x，y）在这点的梯度方向平行：

故所求轨迹为

例2.一个毛纺厂用羊毛和兔毛生产A、B、C三种混纺毛料，生产1单位产品需要的原料如表所示：

三种产品的单位利润分别为4、1、5元/单位.每月可购进的原料限额为羊毛50000单位，兔毛80000单位，问此毛纺厂应如何安排生产才能获得最大利润？

解：本题是条件极值问题.

设每月用所购原料生产出A、B、C三种混纺毛料各x、y、z单位，则每月所获利润为：

f=4x+y+5z（1）

x、y、z应满足的约束条件为：3x+y+4z=500002x+3y+4z=80000（2）

和x≥0，y≥0，z≥0           （3）

由（2）可得：x=-8t+104y=-4t+2×104z=7t （4）

将（4）代入（1）得：f=-t+6×105（5）

将（4）代入（3）得：0≤t≤×104（6）

由（5）、（6）两式可得，当t=0时，利润取得最大值f=6×105，即当x=104，y=2×104，z=0时.所以毛纺厂应该不生产C混纺毛料，把全部原料用来生产104单位的A毛料，2×104单位的B毛料，所获利润最大.

二、积分学内容的应用

例3.一“龟形”小岛上各处高度为z=200（1-）（单位为米，水面对应z=0），欲在高度小于150米的小岛坡地上全部栽上树，每树约占地4平方米，问至少要准备多少树苗？（结果可用式子表示，最后的运算可省略）

解：本题是求曲面面积问题.

小岛在高度小于150米部分的表面积为

因此要准备的树苗总数约为.

例4.一辆汽车由正圆台形山的脚部沿盘山公路向山顶行驶，平均速度为40公里/小时，若视公路为一条光滑曲线，该曲线上任一点处的切线与水平面的夹角为arcsin，已知山底半径为5公里，山顶半径与山高均为0.5公里，求汽车到达山顶边缘所用的时间.

解：本题是求盘山公路的长度，即求光滑曲线弧长的问题.建立坐标系如图1.

设曲线的参数方程为x=x（t）y=y（t）z=z（t）

其中z（t）随t单增，0≤t≤t0（t表示垂直高度）曲线在点（x（t），y（t），z（t））处的切向量为1={x'，y'，z'}，xoy平面的法向量为2={0，0，1}，由已知条件：

注：由求解过程可看出，路程S与山的上、下底半径无关，进一步，路程与山的形状无关，只与山的高度以及盘山公路的倾斜度有关.

参考文献：

[1]袁震东.数学建模方法[M].上海：华东师范大学出版社，2003.

[2]姜启源.数学建模案例选集[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]段勇，黄廷祝.将数学建模思想融入线性代数课程教学[J].中国大学数学，2009，（3）：34-35.