具有多种传播方式的介水传染病模型的稳定性
2015-12-05王爱丽
王爱丽
(宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013)
介水传染病即由存在于人类粪便、污水和垃圾中的病原体污染水源,人们接触或饮用后所导致的传染病,又称水性传染病.介水传染病一旦发生,危害较大.因为饮用同一水源的人较多,发病人数往往很多.据报道大约有40多种传染病可通过水而传播,如霍乱、痢疾、伤寒、副伤寒等肠道传染病,肝炎、脊髓灰质炎、眼结膜炎等病毒性疾病和血吸虫病、钩端螺旋体病、阿米巴痢疾等寄生虫病.
介水传染病一般以肠道传染病多见.隐孢子虫就是一种肠道寄生虫,隐孢子虫感染人体导致腹泻是目前世界上腹泻病常见的原因.患隐孢子虫病的人或动物的粪便如果污染了饮水或饮水水源,可导致该病的介水流行.1993年,美国威斯康辛州某地发生过一次涉及40.3万人的经自来水传播的隐孢子虫病大爆发,引起了全世界的关注[1].我国从1982年以来,已有9次传染性肝炎大流行,其中5次为水源污染引起,4次为食物引起.1986-1988年我国新疆南部地区曾持续23个月传染性肝炎大流行,累及人口达12万人[2].
介水传染病的病原体进入人体从而致病,是介水传染病暴发的主要途径,所以有很多不同的传播方式,包括引用污染了的水、食用由手污染了的个人准备的食物以及住院治疗期间的交叉传染等.不同的疾病传播方式可能不同,即使是同一种疾病不同次的暴发也可能传播方式不同.例如,霍乱的传播方式主要是饮用污染了的水,但是新加波一家精神病院的一次暴发却是由人和人之间的直接接触而导致的[3].贾第鞭毛虫病主要通过引用污染了的水传染,但是与易感染者直接接触也是一种已经公认的危险因素[4].甲型肝炎的传播方式主要是人与人之间的直接传播,不过饮用污染了的水也是一种不可忽视的传播方式[5].
根据世界卫生组织的估计,每年由介水传染病导致的死亡人数达350万[6],因此越来越多的学者开始关注介水传染病.利用数学模型分析和预测传染病的传播和发展,进而预防和控制传染病的流行,已经得到了许多有用的结果[7-10].文[8]只考虑了人与人之间的传播途径,建立了一个SIR模型研究介水传染病.为刻画易感者饮用染病者释放到水中的病原体而感染介水性传染病的现象,文[9]建立了一个传播方式为人-水-人的传染病仓室模型.实践中,当一种介水传染病暴发时,如甲型肝炎、霍乱等,通常都是通过直接传播(人-人)和间接传播(人-水-人)两种方式传播的.考虑直接传播和间接传播两种传播方式的工作迄今为止比较少[9].当甲型肝炎在一个地区爆发时,如果该地区的饮用水局部被病原体污染,则易感者除了接触到染病者会感染上疾病外,一旦不幸饮用了被病原体污染了的饮用水也会感染疾病.论文将建立具有人—人和人—水—人两种传播方式的传染病模型.
将人群分为3类:易感者(S)、染病者(I)以及恢复者(R),则模型如下
其中:C表示该地区已被病原体污染的饮用水占所需饮用水总量的比例;m表示已污染饮用水的净化率;φ表示饮用水被病原体污染的速率;A表示人口的增长率;β,λ分别表示易感者接触到染病者或饮用已被污染的饮用水后被传染的比率;d,ν,α分别表示自然死亡率、恢复率以及因病死亡率.
注意到R不影响模型(1)的其他3个方程的动力学,故只需考虑以下的简化模型
不难证明以下结论:
引理1 模型(2)的吸引域为
1 稳定性分析
主要讨论模型(2)的无病平衡点和地方病平衡点的存在性以及全局稳定性.容易得到模型(2)的基本再生数为
其中:疾病传播初期,人群中易感者的数量为,单位时间内一个易感者通过直接接触染病者被成功感染的概率为β,染病者的平均存活周期为,从而一个染病者在其存活周期内通过人-人传播方式传染的人数为单位时间内染病者成功感染环境的概率为φ,单位时间内一个易感者通过接触被污染了的环境被传染的概率为λ,病毒在环境中的存活周期为,从而一个染病者在其存活周期内通过人-水-人传播方式传染的人数平均为因此,一个染病者在其染病周期内所传染的总人数平均为
定理1 当R0<1时,模型(2)的无病平衡点E0(S0,0,0)是局部渐近稳定的;当R0>1时,E0是不稳定的,其中
证明 模型(2)的雅克比矩阵为
由此知J(A/d,0,0)有一个特征根为-d,另外两个特征根由下式确定
容易验证
这说明R0<1时,有下列结果
(6)式意味着当R0<1时,方程(4)有两个具有负实部的根,从而模型(2)的无病平衡点E0局部渐近稳定.此时,疾病可以灭绝,即染病者的数量趋于0,而易感者的数量将稳定在水平S0,如图1所示.图1中的参数值为A=0.13,β=0.5,λ=0.3,d=0.5,ν=0.95,α=0.4,φ=0.6,m=0.03;初始值为(S0,I0,C0)=(0.4,0.1,0.65).
由(5)知,当R0>1时,有
从而(4)有一个具有正实部的根,这说明无病平衡点E0是不稳定的.定理证毕.
定理2 当R0>1时,模型(2)存在唯一的地方病平衡点E*(S*,I*,C*).
证明 模型(2)的地方病平衡点满足如下方程
其中
由(5)知,当R0>1时,a2<0,从而模型(2)有唯一的地方病平衡点E*(S*,I*,C*),其中
定理证毕.
近年来,复合矩阵的理论在自然科学、工程技术和社会经济领域中得到了广泛应用,尤其是加法复合矩阵和乘法复合矩阵在微分方程定性理论中的应用.因此,众多应用数学及相关领域的科研工作者对复合矩阵产生了浓厚的兴趣.迄今为止,复合矩阵为解决动力系统的全局稳定性、周期轨道的存在性等问题开辟了新的途径[11-14].
以下讨论模型(2)的地方病平衡点E*的稳定性.
引理2[2]对方程
而言,若D是单连通区域,且条件
(H1)方程(8)在D内存在一个紧的吸引集E⊂D,
(H2)方程(8)在D内有唯一平衡点x*∈D,则当q<0时,x*在D内是全局渐近稳定的,其中
定理3 如果以下条件
成立,则模型(2)的地方病平衡点E*是全局渐近稳定的.
证明 由定理1可知,当R0>1时,无病平衡点E0是不稳定的,从而由文[15]可知,模型(2)是一致持久的.因此,模型(2)在区域Ω内存在一个紧的吸引子集E,从而引理2的条件(H1)和(H2)满足.为证地方病平衡点E*的全局稳定性,以下只需证明q<0.
由(3)知J的二阶加法复合矩阵为[2]
取P(S,I,C)=diag(1,I/C,I/C),则
其中:Pf是将矩阵P的每个元素pij用其沿f的导数pijf替代而得的矩阵.记
其中
令(u,v,w)表示中的向量,定义其范数为
由文[11]可知,相应于范数‖·‖的B的测度为
其中
|B12|,|B21|是相应于l1范数的矩阵范数,μ是相应于l1范数的Lozinski^l测度.从而有
由μ的定义可知,为计算μ(B22),取B22每一列的对角元素加非对角元素的绝对值,得
由模型(2)可得
于是
由(9)可得
即有
利用引理2,模型(2)的地方病平衡点E*全局渐近稳定.此时,疾病将演变为地方病,染病者的数量和易感者的数量分别稳定在水平I*和S*,如图2所示.图2中的参数值为A=0.3,β=1.1,λ=0.8,d=0.5,ν=0.95,α=0.4,φ=0.6,m=0.03;初始值为(S0,I0,C0)=(0.4,0.1,0.65).定理证毕.
2 结束语
论文建立了一类具有直接传播和间接传播两种传播方式的介水传染病模型,得到了各类平衡点存在的条件阈值R0.当R0<1,即一个病人在平均患病期内所传染的人数小于1时,疾病最终会消失;而当R0>1,即一个病人在平均患病期内所传染的人数大于1时,疾病不会消除,而是会始终存在,最终演变为一种地方病,此时得到了地方平衡点存在和全局渐近稳定性的充分条件.论文所得结论表明,要防止疾病流行,必须减少阈值R0,使其小于1,这样疾病就会逐渐消亡;否则,若阈值大于1,疾病将始终存在而形成地方病.由文中所得R0的表达式可知,当直接传播的感染率和间接传播的感染率均比较小时,阈值R0仍然可能大于1,此时疾病最终还是不能消除.因此,考虑人-水-人的间接传播对疾病控制的影响对研究传染病具有重要的意义.
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