带变量核的分数次积分算子在加权Morrey空间上的有界性

邵旭馗，王素萍

（陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000）

记Sn－1为Rn（n≥2）中的单位球面，其上装备了Lebesgue测度dσ＝dσ（z′）.设定义在Rn×Rn上的函数Ω∈L∞（Rn）×Lr（Sn－1）（r≥1），满足并设Ω满足条件Ω（x，λz）＝Ω（x，z），∀x，z∈Rn，∀λ＞0；消失条件为

其中

带变量核的分数次积分算子TΩ，α定义为

1971年，Muckenhoupt和 Wheeden［1］研究了对于幂权ω（x）＝｜x｜β，TΩ，α的加权模不等式；Ding［2］得到了TΩ，α关于幂权的弱型估计.在此之后，Ding和Lu［3］又考虑了对于更一般的权函数而言，TΩ，α的加权模不等式.

2009年，Komori和Shirai［4］首先定义了加权 Morrey空间Lp，k（ω），它是Lebesgue空间的一种推广形式，他们还研究了调和分析中一些主要算子在这些加权空间上的相关性质，类似结果可参见文［5－7］.受以上研究的启发，论文研究了带变量核的分数次积分算子TΩ，α在加权Morrey空间上的有界性，从而推广了以往非变量核的结果.

定义1［4］设1≤p＜∞，0＜k＜1，ω是一个权函数，定义加权 Morrey空间Lp，k（ω）为

其中

定义2［4］设1≤p＜∞，0＜k＜1，对两个权函数u和v，定义加权 Morrey空间Lp，k（u，v）为

其中

论文结果如下：

定理1 对某个r∈（1，∞］，设Ω∈L∞（Rn）×Lr（Sn－1），若以及则TΩ，α是从到的有界算子.

1 定理的证明

引理1 设Ω∈L∞（Rn）×Lr（Sn－1）（r≥1）是一零阶齐次函数且满足（2），如果0＜α＜n，1≤r′＜p＜，以及则TΩ，α是从Lp（ωp）到Lq（ωq）的有界算子.

注：引理1的证明可参见文献［3］.

引理2［8］设ω∈Ap，且p≥1，那么对任意的球体B，存在一个绝对常数C＞0，使得

一般地，对任意的λ＞1，有

其中：常数C不依赖于B与λ.

引理3［9］设ω∈RHs，且s＞1，那么存在常数C＞0，使得

对于球体B的任意可测子集E都成立.

定理1的证明 固定一个球体

记

其中：f1＝fχ2B表示2B的特征函数.

由TΩ，α是一线性算子，于是可记

令p1＝p／r′，q1＝q／r′且ν＝ωr′，由于ν∈A（p1，q1），于是可得

由引理1、2，有

关于I2，由 H¨older不等式可得

当x∈B，y∈2k＋1B／2kB时，有

由此可推出

此外，如果x∈B，y∈（2B）c，则有

于是

将不等式（5）和（6）代入（4）中可得

故可得

由此可知

注意到

因此一定存在某个正数s＞1，使得ωq∈RHs，因此由引理3可得

所以

因为s＞1，所以最后一个级数是收敛的，且结合I1与I2的估计，然后关于所有球体B⊆Rn取上确界，这就完成了定理1的证明.

［1］Muckenhoupt B，Wheeden R L.Weighted norm inequalities for singular and fractionalintegrals［J］.Trans Amer Math Soc，1971，161：249－258.

［2］Ding Y.Weak type bounds for a class of rough operaters with powerweights［J］.Proc Amer Math Soc，1997，125：2939－2942.

［3］Ding Y，Lu S Z.Weighted norm inequalities for fractional integral operaters with roughkernel［J］.Canad J Math，1998，50：29－39.

［4］Komori Y，Shirai S.Weighted Morrey spaces and a singular integral operater［J］.Math Nachr，2009，282：219－231.

［5］王素萍，岳晓红，邵旭馗.变量核多线性分数次极大算子的一致有界性［J］.安徽大学学报：自然科学版，2013，37（4）：28－31.

［6］邵旭馗，陶双平.带变量核的Marcinkiewicz积分交换子的加权Lipschitz估计［J］.系统科学与数学，2012，32（7）：915－921.

［7］邵旭馗，陶双平，王素萍.带变量核的参数型Marcinkiewicz积分在弱Hardy空间上的有界性［J］.应用数学，2013，42（1）：177－181.

［8］Garcia－Cuerva J，Rubio de Francia J L.Weighted norm inequalities and related topics［M］.Amsterdam：North－Holland Publishing Company，1985.

［9］Gundy R F，Wheeden R L.Weighted integral inequalities for nontangential maximal function Lusin area integral，and Walsh－Paley series［J］.Studia Math，1974，49：107－124.