半线性中立型二阶时滞微分方程的振动准则

林丹玲

（韩山师范学院 数学与统计学系，广东 潮州， 521041）

考虑广义Emden－Fowler中立型时滞微分方程

其中：z（t）＝x（t）＋p（t）x（τ（t）），α，β1，β2是常数，r（t）∈C1（［t0，∞），R），p（t），q1（t），q2（t），τ（t），σ1（t），σ2（t）∈C（［t0，∞），R），且有下列条件成立：

中立型时滞微分方程出现在高速计算机无损传输网络的数学模型中，且在弹性杆的振动质量、神经力学系统中的惯性以及自动控制理论研究中均有广泛应用［1－2］.因此，中立型微分方程（1）受到广泛关注.但是，目前关于方程（1）的振动性研究还局限于它的特例情形，例如，最近的文献可以参看文［3－14］及其引文.其中文［3］考虑了方程（1）当α＝1，q2（t）＝0的情形，即方程

作者建立了方程（2）的Philos型的振动准则.最近，文［6］对p（t）＝0，q2（t）＝0的情形，即对方程

给出了若干振动准则，改进了已有文献的结果.

论文目的是研究一般形式的Emden－Fowler中立型时滞微分方程（1）.作者利用广义Riccati变换和Young不等式，给出中立型微分方程（1）的若干新的振动准则.

中立型方程（1）的解称为振动的，如果x（t）既不最终为正，也不最终为负.否则称为非振动的.方程（1）称为振动的，如果它的所有解都是振动的.

注：论文中的函数不等式，若不作特别说明，都是对一切充分大的t成立.

1 主要结果

引理1 设x（t）是方程（1）的最终正解，则存在t1≥t0，使得z（t）＞0，z′（t）＞0，z″（t）≤0，t≥t1.

证明 因x（t）是方程（1）的最终正解，由条件（H1）和（H3），有（r（t）｜z′（t）｜α－1z′（t））′≤0.因此函数r（t）｜z′（t）｜α－1z′（t）单调减少且最终定号.故z′（t）最终定号.即z′（t）＞0或z′（t）＜0.现断言z′（t）＞0.否则如果z′（t）≤0，则存在t1≥t0，使得

故存在常数M＞0，使得

亦即

对上式积分，有

上式中令t→∞，注意到（H2），得到矛盾.因此z′（t）＞0.由方程（1）得到（r（t）（z′（t））α）′≤0.注意到r′（t）≥0，z′（t）＞0.因此由上式得z″（t）≤0.

引理2 设x（t）是方程（1）的最终正解，且下列两式之一成立：

则z（t）＞tz′（t）且

证明 设x（t）是方程（1）的最终正解，由引理1知z′（t）＞0，因此有x（t）＞（1－p）z（t）.则由方程（1）产生

定义函数

则

故φ（t）单调增加且最终定号.故z′（t）最终定号.断言φ（t）＞0.否则如果φ（t）≤0，有

联合（6）和（7），得到

则有

对上式积分，有

上式中令t→∞，利用（4），得到矛盾.同样，利用（5），也可得到矛盾.因此，断言φ（t）＞0成立.证毕.

引理3［15－16］设则

引理4 设A＞0，B≥0，α＞0，x∈R，则

定理1 设（4）或（5）成立，且存在ρ（t）∈C1（［t0，∞），R＋），使得

其中

则方程（1）振动.

证明 设方程（1）存在非振动解x（t），不妨设x（t）最终为正，由引理1，有z（t）＞0，z′（t）＞0，t≥t1.令

则

利用（6），（11），有

由引理3，可得

因此，（12）成为

联合（10），（13）和（14），得到

利用引理4，有

积分（16）产生

令t→∞，注意到（9），有W（t）→－∞，此与W（t）＞0矛盾.因此，方程（1）没有最终正解.类似地，也不可能有最终负解.故方程（1）振动.定理1证毕.

推论1 设（4）或（5）成立，若

则方程（1）振动.

证明 只需在定理1中取ρ（t）＝1即可.

下面的定理是方程（1）的Kamenev型的振动准则.

定理2 设除（9）外定理1的全部假设成立，若当n＞1时，有

则方程（1）振动.其中：Q（t）由（10）定义.

证明 如同定理1的证明中一样，设方程（1）有非振动解x（t），不妨设x（t）＞0，x（τ（t））＞0，x（σ1（t））＞0和x（σ2（t））＞0，t≥t1，故有z（t）＞0.令W（t）的定义同（11），则W（t）＞0，t≥t1.且（16）成立.由（16）得到

注意到

有

其中

因此

则

上式与条件（18）矛盾.定理2证毕.

下面利用Philos型的积分平均条件给出方程（1）的新的振动准则.为此引进函数类P.令

函数H∈C（D，R）称为属于P类，记作H∈P，如果

（i）H（t，t）＝0，t≥t0；H（t，s）＞0，（t，s）∈D0；

（ii）H在D0上对第二个变量有连续非正的偏导数，且存在h∈C（D0，R）和ρ∈C1（［t0，∞），R＋），使得

定理3 设（4）或（5）成立，且存在ρ（t）∈C1（［t0，∞），R＋）和H∈P，使得

其中：h（t，s）由（19）定义.则方程（1）振动.

证明 设方程（1）有非振动解x（t），不妨设x（t）最终为正，故存在t1≥t0，使当t≥t1时，有x（t）＞0，x（τ（t））＞0，x（σ1（t））＞0，x（σ2（t））＞0.当x（t）最终为负时可以类似地处理，删去.定义函数W（t）如同（11），故有W（t）＞0，t≥t1.因此有（15）成立.

记

则由（15）得到

对上式利用引理4且注意到A（s）的定义，有

因此

上式与条件（20）矛盾.定理3证毕.

注：定理3推广了文［3］和文［6］及其引文中的相关结果.上述文献中的定理均不适用于论文的例子.

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