具有周期矩形信号的延迟非对称双稳系统的随机共振

郭永峰，申雅君，刘洪涛

（1.天津工业大学 理学院，天津 300387；2.西安外事学院 经济管理学院，陕西 西安 710077）

自从Benzi等［1］和Nicolis等［2］提出随机共振的概念以来，随机共振理论得到了快速的发展，已经成为非线性科学研究的一个热点问题.Fauve等［3］在具有双稳输出特性的Schmitt触发器电路系统中第一次证明了随机共振现象的存在，并首次把信噪比的概念引入随机共振的理论和实验研究.从此，信噪比成为随机共振研究的焦点之一.McNamara等［4－5］提出了绝热近似理论，并对两态系统的信噪比进行了分析.Dykman等［6］提出了线性响应理论来研究随机共振现象.Hu等［7－8］根据Floquet理论对本征值理论做了进一步的改进，得到了绝热近似是微扰展开的一级近似.Zhou等［9］通过考察粒子在势阱间发生两次连续跳跃之间的驻留时间的分布，提出了用驻留时间分布理论来判断随机共振现象.基于这些理论，文献［10－12］研究了具有单频正弦或余弦周期信号的双稳系统的随机共振现象.由于在绝热近似条件下信噪比的表达式仅适用于小的信号幅值，因此，文献［12－15］中提出选用一个合适的周期矩形信号来代替单频正弦或余弦周期信号来解决这一问题.

在以前的研究中，人们主要讨论了没有时间延迟的随机动力系统，然而在许多实际的问题中（如生物系统和光学系统等），时间延迟对系统可能造成的影响却是不可以忽略的.因此，研究具有时间延迟的随机动力系统更具有现实意义.目前，针对上述问题的研究已经吸引了越来越多研究者的注意［16－20］，并得到了许多可行的研究方法和研究结果.其中，文献［17－20］分别对具有时间延迟的双稳随机系统进行了研究，讨论了时间延迟对稳态概率密度和信噪比的影响.论文主要依据文献［12－13，17－20］的研究方法对具有周期矩形信号的延迟非对称双稳系统的随机共振现象作了进一步的探讨.首先通过小时间延迟近似方法，给出了延迟双稳系统的FPK方程.然后应用绝热近似理论推导得出了信噪比的表达式；最后分析了加性噪声强度Q、乘性噪声强度D、静态非对称性r、延迟时间τ以及噪声强度比率R对信噪比SNR的影响.研究发现：在延迟情况下，改变加性噪声强度比改变乘性噪声强度更容易产生随机共振，并且延迟时间对信噪比的影响是与噪声强度有关的.

1 时间延迟双稳随机系统的信噪比

考虑下述由乘性和加性噪声以及周期矩形信号所共同驱动的具有小时间延迟的双稳随机系统，其延迟随机微分方程为

其中：τ为小时间延迟量，r刻画双稳系统的非对称性.

ξ（t）和η（t）为不相关的高斯白噪声，其均值和方差为

其中：D和Q分别为乘性和加性噪声强度.

A为常数，H（t）为具有周期为T的矩形信号，其表达式为

系统（1）的确定性部分包含有两个时滞项，这不同于文献［12，19］中所研究的时滞系统.当τ′→0时，方程（1）可等价为

其中：ζ（t）为高斯白噪声，满足

并且

根据小时间延迟近似方法［17－20］，方程（4）可近似为

其中

所以，方程（1）的近似FPK方程为

其中

由（9）～（10）式可得到系统的稳态概率密度表达式为

其中：N为归一化常数.

为便于研究，取a＝b＝1，λ＝0，并令，可得广义势函数的表达式为

其中：在延迟时间较小的情况下，取U0（x）为τ＝0时的对称双稳势函数［13，19－20］，W0代表方程（1）仅受加性和乘性白噪声时的特征转换率，W0，p和q的表达式为

由文献［5］可知，双稳的情形可以看作是一个两态模型，n±分别表示在稳态x±的概率.则n±满足概率交换的主方程

在绝热近似条件下，由于双稳模型的局部平衡的确立要比跃迁概率之间的交换快的多，所以，方程（15）的初始分布为

对于任意的函数f，有下面的公式成立

利用性质（17）并结合文献［13－14］的方法，可以解得相关函数的表达式

其中

根据（18）式，功率谱密度函数S（ω）定义为相关函数的傅立叶变化，可写为

其中

S1（0）为噪声背景下零频处相应的谱密度，S2（ω）为与输出信号相应的谱密度，则信噪比SNR的表达式可写为

上式是在绝热近似条件下得到的，需满足条件q≪1.

2 噪声、系统的非对称性及延迟时间对信噪比的影响

下面利用（23）式来讨论加性噪声强度Q、乘性噪声强度D、静态非对称性r、延迟时间τ和噪声强度比率R对信噪比SNR的影响.为方便讨论，在图1～5中仅讨论r＞0的情况.

在图1～2中，给出了信噪比SNR作为Q的函数分别随不同的r和τ的变化曲线.从图中可以看出SNR随Q的增加出现了单峰，这意味着发生了随机共振现象.图1中，SNR随着r的增加而减小，并且峰值也随之减小，峰的位置向右移动.图2中，对于较小的Q，SNR随着τ的增加单调减小，当Q增加到一定值后，SNR又随着τ的增加单调增加，并且峰值随着τ的增加而减小，峰的位置向右发生移动.

在图3～4中，给出了信噪比SNR作为D的函数分别随不同的r和τ的变化曲线.当r的值进一步增大后，SNR随D的增加出现了单峰，如图3所示，这意味着发生了随机共振现象，与此同时，SNR随着r的增加而减小，峰的位置向右移动.图4中，SNR随着D的增加出现了单峰，出现了随机共振现象，并且对于较小的D，SNR随着τ的增加单调减小，当D增加到一定值后SNR随着τ的增加又单调增加，与此同时，峰值随着τ的增加而减小，峰的位置向右移动.

通过以上分析可以看出，在时间延迟情况下，加性和乘性噪声对信噪比的影响是不同的.当系统的势阱不是很对称的时候，改变加性噪声强度比改变乘性噪声强度更容易产生随机共振，如图1、3所示.延迟时间对信噪比的影响是与噪声强度有关的，τ越大，产生共振峰时所对应的噪声强度越大，如图2、4所示.

在图5中，给出了信噪比SNR作为噪声强度比率R的函数随不同的τ的变化曲线.从图中可以看出SNR随R的增加出现了单峰，出现了随机共振现象.当R值较小时，SNR随τ的增加而增加；当R值较大时，SNR随τ的增加而减小，且峰值也随之减小，同时峰的位置左移，这与图2、4的结果具有一致性.

3 结束语

研究了由加性和乘性白噪声以及周期矩形信号共同作用的延迟非对称双稳系统的随机共振现象.在绝热近似条件下，通过小时间延迟近似得到了非对称双稳系统的FPK方程，并推导得出了系统在延迟情况下的信噪比SNR表达式，进一步研究了加性噪声强度Q、乘性噪声强度D、静态非对称性r、延迟时间τ和噪声强度比率R对信噪比SNR的影响.研究发现，在延迟情况下，改变加性噪声强度比改变乘性噪声强度更容易产生随机共振，并且延迟时间对信噪比的影响是与噪声强度有关的，τ越大，产生共振峰时所对应的噪声强度亦越大.

［1］Benzi R，Sutera A，Vulpiani A.The mechanism of stochastic resonance［J］.J Phys A：Math Gen，1981，14：L453－L457.

［2］Nicolis C，Nicolis G.Aspects of climatic transition－additive fluctuations［J］.Tellus，1981，33：225－229.

［3］Fauve S，Heslot F.Stochastic resonance in a bistable system［J］.Phys Lett A，1983，97：5－7.

［4］McNamara B，Wiesenfeld K，Roy R.Observation of stochastic resonance in a ring laser［J］.Phys Rev Lett，1988，60：2626.

［5］McNamara B，Wiesenfeld K.Theory of stochastic resonance［J］.Phys Rev A，1989，39：4854－4869.

［6］Dykman M I，Mannella R，McClintock P V E，et al.Noise－induced narrowing of peaks in the power spectra of underdamped nonlinear oscillators［J］.Phys Rev A，1990，42：7041－7049.

［7］Hu G，Nicolis G，Nicolis C.Periodically forced Fokker－Planck equation and stochastic resonance［J］.Phys Rev A，1990，42：2030－2041.

［8］胡岗.随机力与非线性系统［M］.上海：上海科技教育出版社，1994.

［9］Zhou T，Moss F.Analog simulations of stochastic resonance［J］.Phys Rev A，1990，41：4255－4264.

［10］Jia Y，Yu S N，Li J R.Stochastic resonance in a bistable system subject to multiplicative and additive noise［J］.Phys Rev E，2000，62：1869－1878.

［11］Jin Y F，Xu W，Xu M.Stochastic resonance in an asymmetric bistable system driven by correlated multiplicative and additive noise［J］.Chaos Solitons ＆Fractals，2005，26：1183－1187.

［12］Dong X J.Stochastic resonance in an asymmetric bistable system with time－delayed feedback and correlated noises［J］.Acta Phys Sin，2007，32（1）：5618－5622.

［13］Xu W，Jin Y F，Li W，et al.Stochastic resonance in an asymmetric bistable system driven by multiplicative and additive noise［J］.Chin Phys，2005，14：1077－1081.

［14］Ginzburg S L，Pustovoit M A.Stochastic resonance in two－state model of membrane channel with comparable opening and closing rates［J］.Phys Rev E，2002，66：021107.

［15］Gerashchenko O V.Stochastic resonance in an asymmetric bistable system［J］.Tech Phys Lett，2003，29：256－258.

［16］Frank T D.Delay Fokker－Planck equations，perturbation theory，and data analysis for nonlinear stochastic systems with time delays［J］.Phys Rev E，2005，71：031106.

［17］Guillouzic S，Heureux I L，Longtin A.Small delay approximation of stochastic delay differdntial equations［J］.Phys Rev E，1999，59：3970.

［18］Guillouzic S，Heureux I L，Longtin A.Rate processes in a delayed，stochastically driven，and overdamped system［J］.Phys Rev E，2000，61：4906－4914.

［19］Wu D，Zhu S Q.Stochastic resonance in a bistable system with time－delayed feedback and non－Gaussian noise［J］.Phys Lett A，2007，363：202－212.

［20］Guo Y F，Xu W，Wang L.Stochastic resonance in a time－delayed asymmetric bistable system with mixed periodic signal［J］.Chinese Physics B，2010，19：1－5.