浅谈如何在教学中渗透数学思想

刘燕

一、缘起

“全班42人去公园划船，租10只船正好坐满。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租的大船、小船各有多少只？”这一例题，原是苏教版六年级上册“解决问题的策略——假设与替换”中的内容，新教材中，这一内容移至六年级下册“选择策略解决问题”这一单元中。这一例题属于“鸡兔同笼”的变型题，把它编入教材的目的，笔者认为这不是为了就题解题，当然也不是为了解决“鸡兔同笼”这一类型的问题，它真正的目的是渗透数学思想，让学生感悟数学思想。《义务教育数学课程标准》（2011年版）也把原来的“双基”改为了“四基”，增加了基本数学思想和基本活动经验，那怎样在教学这一例题时渗透数学思想呢？

二、数学思想的概念

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学。那么，数学思想就应该指将这样的数量关系和空间形式反映到人们的意识中，经过人们的思维活动而产生的结果。

另外，《义务教育数学课程标准》（2011年版）又指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。”

所以说，数学思想是隐性的，只能意会不能言传，语言文字很难将它表达出来，它需要学生在学习过程中慢慢感悟，但是它又脱离不了直观的数学知识，常常渗透在教学活动之中。

三、我的教学思考

对于单元的变化，同一个教学内容该怎样教学呢？怎样教学才能渗透数学思想呢？笔者将两种教学方法做了一个比较。

这一内容原来是属于“解决问题的策略——假设与替换”单元，所以教学时很容易把教材上的画图法、列表法给忽视了，而只偏重于假设这一种方法。教学时，笔者一开始就用假设法讲给学生听，如“我们把10只船都假设成大船计算时，10×5=50（人），50-42=8（人），5-3=2（人），8÷2=4（只），求出来的就是小船的只数；或者我们再把10只船都假设成小船计算时，求出来的就是大船的只数”。但是，这样的教学带来了一系列问题：1.不明确结果和物体之间的对应关系。2.不会灵活应用，题目换种说法就不会做了。为什么会这样？因为学生不知道为什么要假设，每一步求的什么，为什么要这么求，他们没有把高层次的抽象概括的学习过程和直观的知识联系起来，并没有真正理解这一内容，只是依葫芦画瓢地完成任务。所以说这样的教学，让《义务教育数学课程标准》（2011年版）中的“感悟数学思想，积累数学活动经验”成为一句空话。

教材改变后，这一内容属于“选择策略解决问题”这一单元，教材上内容的改动并不多，但是这样做就引发了学生的思考，也引起了笔者的注意。教材首先呈现的是画图法，接着是用列表的方式进行一一列举，最后先假设大船小船同样多，再调整。笔者就思考：为什么要出现这么多种方法策略？它们之间有着什么联系？从数学思维的层面看，画图法、列表法都是假设的一种直观表现形式，假设法则是对它们进行进一步的抽象和概括。所以，要让学生真正理解这道题，我们要将直观形象的画图法和列表法与抽象的假设法进行沟通和联系，借助直观让学生真正理解假设法，真正把这种策略内化为数学素养。

所以，教学时笔者先让学生读题，理解题意，然后让每一位学生亲自画一画，或者用列表的方法一一列举，引发学生思考。

方法一：

提问：①为什么每只船上都画了5人？②为什么又去掉了8人？③为什么是每只船上去掉2人？

方法二：

在这个过程中，学生通过一一列举，建立了一个特定的方法，解决了具体的问题。这种解题方法并不是笔者教的，而是学生通过自己的思考，灵活选择的。

方法三：

这种方法学生通过假设调整，也得到大船6只，小船4只，正好坐42人。这些过程也是学生自发的，自己感悟的。

学生经历这三种方法之后，笔者提问：①50人是怎么来的？让学生明白是把10只船全都假设成大船后得到的，自然而然地揭示出“假设法”。②为什么又去掉了8人？和画图法联系起来，让学生明白是因为把小船假设成了大船。③为什么是每只船上去掉2人？因为把一只小船假设成一只大船会多2人。所以，要求小船有多少只，只要看多出来的8里面有几个2，也就是8÷2=4（只）。

经过笔者一系列的提问，让学生在解决问题的过程中把直观的画图法、列举法和抽象的假设法自然而然地联系了起来，自发地从具体情境中抽象出数学问题，建立了模型思想。在这个过程中学生感悟了数学思想，积累了数学活动经验。其实，小学阶段最重要的就在于我们要帮助学生积累活动经验，感悟数学思想，提高数学学习的兴趣和应用意识。在上述教学过程中，每一步都是学生先独立思考，然后再进行交流表达，学生们在这个过程中学会了用数学的思维方式进行思考。

四、数学思想的操作建议

让学生感悟数学思想，需要我们持之以恒地、不断地渗透在课堂教学中；它不是一节课、两节课能够学会的，它可能需要一个学期、一年，甚至更长的时间。那么面对活泼的学生，教学时我们该注意些什么呢？

1.数学思想不要过于“求显”

在教学中，我们不能用数学思想的分析去完全取代知识内容的教学，或者是让两者完全割裂，比如上述第一种教学过程。因为这样教学太抽象，学生连教学内容都理解不了，还谈何感悟数学思想。数学思想应该是“该出手时就出手”，根据学生的需要、教学内容的需要，对数学思想进行归纳、概括。

2.数学思想不要过于“求全”

感悟数学思想，学习数学思想是一个长期的过程，我们要意识到数学思想的重要性，学习时应有明确的目标与切实的落实措施。所以在教学过程中我们要有意识地引导学生对解题思路进行表述，但不一定要高度概括，可以让学生用自己的语言来表达。同样，我们也要重视引导学生进行交流和反思，在交流反思中感悟数学思想。

我们的数学课堂不单单是为了教学数学知识和方法，更重要的是培养学生的思维能力，感悟数学思想。学生只有掌握了数学思想，他们的数学能力才会得到大幅度提高。虽然这是一个长期的过程，但是我们应努力做到用数学思想去指导具体知识的教学，从而使之真正成为可以理解的知识，可以学到手的知识，能够加以推广应用的知识，让学生真正地学以致用。