函数的应用知识点解读及高考题型分析

2015-11-26王立超

中学生数理化·高一版 2015年9期

王立超

一、知识点解读

1.函数的零点

（1）函数零点的定义：对于函数y=f（x），我们把使f（x）=O的实数r叫做函数y=f（x）的零点。（2）几个等价关系：方程f（x）=0有实数根<=>函数y=f（x）的图像与z轴有交点<=>函数y=f（x）有零点。（3）函数零点的判断（零点存在性定理）：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0.那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是方程f（x）=0的根。

2.二次方程的实根分布及条件

（l）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小<=>a·f（r）（检验）或（检验），检验另一根在（p，q）内。（5）方程f（x）=0两根中的一根小于p，另一根大于

3.二分法求方程的近似解

（l）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（2）给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证，给定精确度②求区间（a，b）的中点c。③计算，则c就是函数的零点；若，则令b=c（此时零点则令此时零点。④判断是否达到精确度e，即若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复②③④。

4.常见的函数模型

（l）一次函数模型：为常数.k≠o）。（2）反比例函数模型：常数，k≠O）。（3）二次函数模型：为常数，a≠0）。（4）指数函数模型：为常数，（5）对数函教模型：为常数，。（6）幂函数模型：为常数，a≠0，n≠1）。（7）分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用上分广泛。（8）函数模型。

5.几类不同增长的函数模型及其增长差异

分别作出函数在第一象限的图像，如图1所示。

函数刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；

函数刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；

函数增长的速度也是越来越快，但越来越不如增长得快。

函数和的图像有两个交点（2，4）和（4，16）。

当x∈（2，4）时，，当x∈（0，2）U（4，+∞时，。所以当x>4时，

一般地，在区间（O，+∞）上，尽管函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于（n>O）的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x。，使得当x>x。时，就有。这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长。

二、高考题型分析

1.函数零点所在区间的判断

判断函数f（x）的零点所在的区间，依据零点存在性定理将区间端点的值代入验证，此法只适用于变号零点。值得说明的是零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件。不易判断时也可以画图观察。

例1 已知函数在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）。