基于响应面法的印制电子喷印机结构多目标优化设计

刘德仿，顾春荣，周临震，王斌

(1.盐城工学院机械工程学院，江苏盐城224051;2.南通大学机械工程学院，江苏南通226019)

0 前言

与传统电路制版方法相比，印制电子技术具有很多优势［1］。印制电子喷印机通过其运动系统与打印喷头，在预先编制程序的控制下，将导电墨水喷到基材上形成线路［2］。目前，国外印制电子喷印产品重量约为国内同类产品的60%。因此使喷印机具有较小的重量来降低生产成本，已成为国内印制电子喷印产品设计的迫切需求。同时，作为一个移动设备，喷印机必然会受到电机的激励，为确保喷印机在减重的同时，满足打印精度与稳定性的设计要求，其机械结构须具有良好的动态特性。

对印制电子喷印机结构进行优化设计，实际上是在减重过程中保证其机械结构动态性能的多目标优化问题。由于喷印机结构复杂，其约束函数、目标函数的导数绝多数不连续，难以用显示表达，采用传统基于梯度的优化方法很难找到最优解。目前，运用基于统计学的响应面法能大大降低计算量，在一定程度上很好地解决复杂机械结构的多目标优化设计问题，如姜衡等人［3］将响应面法应用与立式加工中心结构优化设计中，在保证原整机动静态性能的前提下减轻整机质量，取得了很好地优化结果。夏链等人［4］采用正交试验法构造响应面模型，对床身结构进行优化设计并得到最优解，大大降低了试验次数，提高了优化设计效率。

本文作者简要介绍了响应面法，制定了喷印机结构多目标优化设计路线，以喷印机结构重量和动态特性为优化目标，利用响应面法与多目标遗传算法，基于ANSYS Workbench协同仿真平台，通过调整和优化其关键结构参数，实现产品多目标优化设计。

1 有限元模型的建立及其动态特性

建立印制电子喷印机结构的有限元模型，并进行模态分析，可以得到其动态特性，将其作为优化问题的约束与目标，为后续的优化设计提供依据。

1.1 有限元模型的建立

印制电子喷印机机械结构主要分为床身、工作台及基座3个部分，如图1所示。喷印机共有3个方向运动:X轴运动模组为含有喷头的Z模组工作运动;Y轴运动模组为放置基材的工作台运动;Z轴运动模组为喷头的上下运动以调整基材的厚度。

图1 印制电子喷印机机械结构图

喷印机机械结构是作为重要组成部件，承载着整机的全部质量，因此文中主要针对机械结构进行建模与分析。同时，为提高分析效率、改善网格划分质量，需要简化或去除模型中对分析结果影响较小的零部件或细节特征 (如工艺孔、倒角等)。对伺服电机、底封板和挡板等附件用集中质量单元来模拟对喷印机的影响。采用Solidworks建立喷印机简化后的三维参数化模型，完成后通过修改模型中的关键尺寸参数名称 (加前缀“DS_”)，将其导入ANSYSWorkbench的DM模块中，实现模型与设计变量的无缝连接。

大理石平台、龙门横梁及两个立柱采用济南花岗石，其余零部件采用结构钢。六面体网格具有网格数量少且计算精度高等特点，通过对复杂零件的切片的方式，使模型能够被扫掠，从而在网格划分时生成规则的六面体单元。对于结合面接触，采用绑定接触和不分离接触来分别模拟喷印机的固定结合面和导轨结合面。由于整个打印机是依靠底面的四个脚与地面接触来支撑的，将机床四个底面与地面的摩擦理想化为无穷大，即无相对滑动，施加约束时将四个脚支座处的接触面设为固定约束。建好的喷印机有限元模型如图2所示。

图2 喷印机有限元模型

1.2 有限元模态分析结果

对喷印机有限元模型进行模态分析，得到其固有频率与振型。由于高阶固有频率对结构影响较小，文中只取喷印机前4阶模态，分析结果如表1和图3所示。

表1 喷印机前4阶模态分析结果

图3 喷印机前4阶振型

由分析结果可知，喷印机第1阶固有频率为46.75 Hz，但由于实际生产与工作环境的影响，喷印机的实际频率会低于理论值，故应适当对结构进行优化，提高喷印机打印精度与稳定性，改善其动态性能。

2 响应面模型的建立

2.1 响应面法

响应面法 (Response Surface Methodology，RSM)［5］是一种数理统计与试验设计相结合的优化方法，通过对指定设计点集合进行试验设计，构造显式近似表达式将涉及设计变量的目标与约束隐式函数替代为显示函数关系，得到响应面模型，从而预测未试验点的响应值。文中选用准确性较高的完全二阶多项式响应面模型［6］，对于n个设计变量可表示为:

式中:y(X)为拟合函数;X＝(x1，x2，…，xi，…，xn) 为设计变量;β0、βi、βii、βij为未知系数，通过最小二乘法拟合确定。

2.2 试验设计

试验点的选取直接关系着响应面模型的构造精度，而试验设计是建立响应面近似模型的取样策略，试验设计理论可以保证生成合理的设计点。采用中心复合试验设计 (Central Composite Designs，CCD)［7］，它能以最少的试验循环来提供设计变量与试验误差的信息。对于n因子、2水平试验，试验点包含以下三部分:

(1)1个中心点，用于提供一致精度与纯误差的估计，即图4中立方体中心点;

(2)2n个轴向点，表示每个设计变量所在轴上距中心点距离为α的2个对称点，用于估计响应面模型纯平方项βii，即图4中各○点;

(3)2n-ζ个析因点，用于估计一阶项系数βi及交互作用项系数βij，即图4中立方体各顶点。

图4 中心复合试验设计组成部分

故中心复合试验设计共需 (2n-ζ＋2n＋1)个试验点。

2.3 响应面模型的评价

对于建立的近似函数模型，即响应面模型，其优劣程度直接影响到优化结果，因此需要对响应面模型进行评价。采用拟合优度 (Goodness of Fit)来评价响应面模型对试验设计数据的拟合程度，通常用复相关系数R2表示，其数值在 ［0，1］变化，且越接近1，说明误差越小，即响应面越准确。

式中:E为响应值与响应估计值的平方和，Y为响应值与响应均值差的平方和。

3 多目标优化设计流程

基于响应面法的印制电子喷印机结构多目标优化设计思路如下:首先，根据喷印机床身与基座结构，明确影响优化目标的关键参数，在Solidworks平台建立三维参数化模型，通过无缝连接接口将简化的模型导入ANSYS Workbench并进行有限元模态分析，为后续的优化设计提供依据。然后选用中心复合试验来确定试验点，并进行有限元分析计算，利用这些试验点数据建立响应面模型。接着，运用转移哈默斯利(Shifted Hammersley)［8］序列抽样技术抽取样本点，当作多目标优化算法的初始种群。最后，通过多目标遗传算法，得到喷印机优化设计的最优解。具体喷印机结构优化设计流程如图5所示。

图5 喷印机结构优化设计流程图

4 多目标优化设计

4.1 多目标优化数学模型

以印制电子喷印机结构主要零部件关键尺寸与位置关系为设计变量，取值在设计允许范围内，这里取设计变量初始值的10%左右，提取的设计变量如表2所示。以降低喷印机质量和提高结构第1阶固有频率为优化目标，第2阶和第3阶固有频率为约束条件。

具体的喷印机多目标优化设计数学模型描述如下:式中:y1(X)为喷印机结构质量，y2(X)为结构第1阶固有频率，yj(X)为第j阶固有频率，yj为优化前固有频率，X为决策向量，xL、xU分别为设计变量的下限值和上限值。

表2 床身关键结构设计参数 mm

4.2 优化过程与分析

通过中心复合试验设计生成45个试验点及其有限元分析响应结果，再运用二次插值函数生成响应面与局部灵敏度模型。采用拟合度曲线来评价响应面拟合优度，如图6所示。横坐标为设计点实际观测值，纵坐标为响应面预测值，由图可知，优化目标质量和第1阶固有频率样本点均在对角线附近，表示复相关系数R2趋近于1，响应面拟合优度较高。

图6 拟合度曲线

采用3D图形模式表示响应面模型，选择两个设计变量分别作为输入参数的X轴与Y轴，一个优化目标函数作为输出参数的Z轴，生成的响应面模型如图7所示。

图7 响应面模型

由图可知，龙门横梁Y向长度P5与Z向长度P2对喷印机结构质量影响较大，而模型中灰色部分为单目标最优部位，即达到结构质量最轻，由于未考虑其它设计变量和优化目标，因此这并不能作为输出结果最优解。

图8为各输出参数的局部灵敏度，即6个设计变量对4个输出参数的影响程度。通过分析可知，对结构质量影响较大的是大理石平台Z向长度P4，龙门横梁Y向长度P5次之;对结构固有频率影响较大的是基座立柱厚度P6，而由于床身质量越大，整机中心越高，床身零部件的尺寸 (P2、P3、P4和P5)对固有频率有负面影响。

图8 局部灵敏度

利用多目标遗传算法 (MOGA)［9］对目标函数优化求解，设定初始样本数为100，最大迭代次数为20，收敛准则为70%，结构重量与最大变形的权重大小一致，经过计算得到Pareto最优解集［10］，如图9所示，两个坐标系分别对应2个优化目标，横坐标为喷印机质量，纵坐标为1阶固频。

图9 质量与1阶固有频率Pareto最优解集

从Pareto最优解集中选取效果较好的一组作为最优解，并以它为设计点验证优化后的效果，优化前后与圆整后结果如表3、4所示。

表3 关键结构设计参数优化前后值 mm

表4 优化前后结果对比

由表4可知，优化并经圆整后的喷印机结构重量为544.26 kg，比优化前降低了8.7%;而第1阶固有频率为54.171 Hz，比优化前提高了15.8%。喷印机的结构动态特性得到较大提升，满足了产品的多目标优化设计要求。

5 结论

(1)以减轻印制电子喷印机重量和提高结构动态性能为目标，基于ANSYS Workbench协同仿真平台，结合响应面法与多目标遗传算法，对喷印机的机械结构参数进行了多目标优化设计，经优化后的结构重量比优化前降低了8.7%，而1阶固有频率提高了15.8%，实现了喷印机的优化设计;

(2)采用响应面法，能够合理有效地确定初始种群，保证多目标优化算法能够快速地收敛，从而在可行域内得到Pareto最优解集，提高了多目标优化设计效率。

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