光速不变原理与一般洛伦兹变换式的推导

王 悦，方 芳

（1.铜陵学院 电气工程学院，安徽 铜陵244000；2.铜陵市环保局,安徽 铜陵244000）

1 引 言

洛伦兹变换是狭义相对论的基础，在狭义相对论中占据中心地位，它用确切的数学语言反映了相对论基本原理与伽利略变换及经典相对性原理的本质区别。关于洛伦兹变换式的推导在《普通物理学》[1]中往往使其过于简化，直接给出结论，从结论出发得出速度变换式，然后讨论其物理本质就是光速不变原理。笔者按照这种思路教学，发现很多学生是被动接受，对其中更深刻的物理含义仍然是不得要领。现在很多论文已经讨论了如何推导洛仑兹变换式[2-4]。但大多是利用爱因斯坦狭义相对论的基本原理和时空间隔的不变性对洛伦兹变换给出的推导过程。本文直接从光速不变原理出发，先详细阐述了“时间膨胀”，“动尺缩短”，的时空观，然后由此二点结论出发给出洛伦兹变换的推导过程，最后对其物理意义进行了阐明。

2 运动时（钟）间变慢

爱因斯坦在他的1905年发表的第一篇关于狭义相对论的论文中，突破经典力学的时空观，提出了作为狭义相对论的两个基本假设：

1.相对性假设：物理定律对所有惯性参考系中的观察者来说都是相同的，没有哪一个参考系是特殊的。

2.光速假设：光在真空中的速率沿各个方向在所有惯性系中具有相同的值C。

接受光速假设，就可以做如下讨论。

假设有一光钟以恒定的速度v 向右运动，如：

图2

图1 某人A 与光钟一起运动，那么当光钟里有个光信号发出后达到上面的反射器后再返回到接受器，这个过程中光线是直上直下的满足：

同一个过程在地面上静止不动的B 会看到图2中的场景，认为光走的是折线。

图3

考虑半个过程，即光线达到接收器这个过程,由图3 我们可以得到关系：

如果认为相对静止的参考系中测量的是原时（固有时），那么一定有△t＞△t0，所以同样的时间间隔，从任何其他惯性系测的结果总比固有时要长。即：原“时”最短，动“时”变慢。

3 运动的尺子变短

测量一个“睡倒”光钟的长度，如果光钟静止时测量是l0，如图4（a）

图4

那么当光钟以速度v 运动之后如图4（b）考察光线达到反射器的过程，应该满足：

类似可以分析从反射器回来达到接受器过程如图5。

图5

对于整个过程分析可以得到：

所以在物体的静止参考系内测得的物体长度l0是它的原长（固有长度），那么在平行于该长度作相对运动的任何参考系内测得的长度都小于固有长度。即：原“长”最长，动“长”收缩。注意长度收缩只发生在相对运动的方向上，也就是当光钟竖着放，沿着向右或者向左方向运动时测量的长度是不会发生变化的。同时测量的长度不一定是一个物体比如一根棒子或一个圆圈，它可以是在同一个参考系内的两个物体——例如太阳和一颗邻近的恒星（近似相对静止）之间的距离。

4 洛仑兹变换式

上面，在光速假设基础上得到了两个重要结论，以下讨论两个惯性系之间的转换关系。

图6

如图6，S' 系中静止一个尺子，左端与坐标原点重合，右端坐标为x'，那么尺子的长度为：x'=l0

换到S 系，测量的右端坐标满足几何关系：x=l+vt

这就是x 轴上的坐标变换，考虑逆变换只要把x↔x'，v↔-v 即可，所以可以得到：

以下把x'的表达式代入（3）式代入（4）式可以得到：

整个推导过程咱们主要用到光速不变原理，这个方法简单明了，易于理解，很适用于大学物理或普通物理课程等非物理专业学生的学习和理解。

5 洛伦兹变换的物理意义

从洛伦兹变换的导出过程和蕴含的时空观可以看出洛伦兹变换的物理意义是：

1.洛伦兹变换时间和空间与物质的运动是密不可分的，尤其是时间量含有空间坐标，意味着时间是会受到空间的影响的。

2.当v＜＜c时，β=v/c→0，洛仑兹变换→伽利略变换式：

所以洛仑兹坐标变换比伽利略坐标变换适用范围更广，在宏观低速时两者等价，但处理近光速运动时伽利略坐标变换失效。同时，从伽利略变换是看不出时间和空间之间的联系的，洛仑兹坐标变换才真实反映了时空的关联性。

3.从坐标变换还可以得到速度变换：

从速度变换式中可以看出当ux=c 时一定有v'x=c，也就是说光速在不同惯性系中都是恒定的，所以洛仑兹变换其实和光速不变原理是等价的, 它可以看成是光速不变原理的数学描述。

4.从速度变换式中我们还可以发现：x 轴的速度还会影响到y 和z 轴的速度，这一点说明运动在整个空间各个方向是有关联的，一个方向的运动一定会影响其他方向的运动，所以运动独立性这种说法其实是不严谨的。对于运动可以分解到各个坐标系的处理方式在近光速时也是不能用的，仅在宏观低速时空的关联性不易察觉所以可以近似处理。

[1]程守珠，江之永.普通物理学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2006：145-148.

[2]王笑君，关洪.关于洛伦兹变换的推导[J].大学物理，1998(08)：19-21.

[3]严国清，彭振生.洛伦兹变换的一种新推导[J].大学物理，2006(09)：22-24.

[4]关洪.再谈洛伦兹变换的推导[J].大学物理，2007(11)：14-15.