基于线性弹道模型的末段修正弹落点预测

李兴隆，贾方秀，王晓鸣，姚文进，吴巍

（1.南京理工大学智能弹药国防重点学科实验室，江苏南京210094；2.63863部队，吉林白城137001）

基于线性弹道模型的末段修正弹落点预测

李兴隆1，贾方秀1，王晓鸣1，姚文进1，吴巍2

（1.南京理工大学智能弹药国防重点学科实验室，江苏南京210094；2.63863部队，吉林白城137001）

针对末段修正弹在弹道末段快速预测落点的问题，提出一种将六自由度刚体外弹道模型线性化的方法，得到线性弹道方程组并求其解析解，结合剩余飞行弧长估算公式，推导出弹道落点快速预测解析公式。以六自由度弹道为基准，通过仿真分析了不同射角不同预测点下线性弹道模型预测法的预测精度和解算时间，结果表明该方法对偏流方向的落点预测误差小于8 m，解算速度相比三自由度数值积分落点预测法提高了一个数量级。该方法为弹载计算机进行实时快速弹道解算提供理论依据，对末段修正弹的工程应用具有参考价值。

兵器科学与技术；弹道解算；落点预测；末段修正弹；线性弹道

0 引言

传统弹药落点散布大、精度低，难以符合现代战争中的高命中精度，低附带损伤的要求。末段修正弹是在弹道末段，由弹上传感器测出弹道偏差，根据相应导引律，控制弹上执行机构（如舵翼或脉冲发动机等）产生修正力和力矩，对弹道偏差进行修正，减小脱靶量。预测落点导引律是根据当前弹丸状态作为起始点，计算在无控状态下弹丸的落点，并与目标坐标点进行比较，得到位置偏差，以此作为反馈形成此时刻飞行器制导指令的方法［1］。采用落点预测导引律时，预测落点的精度直接关系到制导精度，因此快速并准确地预测到弹丸落点对提高导引精度有重要意义。

常思江等［2］基于三自由度（3DOF）质点弹道模型，对位置变量关于时间t进行2阶泰勒展开，得到具有良好精度和较快计算速度的弹道预测解析模型，但该方法仅在有效射程较小、弹道控制量较小的防空炮弹的弹道末段效果较好。李超旺等［3］提出了基于摄动原理的实时落点预测方法，在仿真实验和实际飞行试验中都具有较高的预测精度，但该方法需要在弹丸发射前由地面计算机提供基准弹道和预测偏差系数。Douglas等［4］应用弹丸线性理论简化了六自由度（6DOF）方程，并推导出在控制力作用下弹丸转向幅值和角度的计算公式，计算结果与6DOF方程计算结果能较好地吻合，但其应用条件是平射弹道且不考虑重力和风的影响。Bradley等［5］提出了预测飞行控制导引律，利用弹丸线性理论计算当前状态下的弹丸落点。Leonard等［6］提出了通过修正弹丸线性理论进行快速弹道预测的方法，与非线性6DOF、3DOF自由度和质点弹道数值积分进行弹道预测的方法相比，具有计算精度高，占用计算机资源少的优点，但采用的弹丸线性理论为保证全弹道预测的精度，弹道计算必须周期性地实时更新迭代多次，数据量大，解算复杂，降低了弹道解算的实时性。

本文针对末段修正弹的末段弹道，运用线性理论，将6DOF弹道模型线性化，建立纵向和横向运动解析模型，经过一步解算得到弹丸落点参数，结果表明该方法对偏流方向的预测精度高，且计算量小，耗时短，满足弹道解算实时性要求，对末段修正弹控制策略设计和提高弹丸修正精度具有重要意义。

1 弹丸动力学模型

非线性6DOF刚体弹道方程是最常用的描述弹丸空中运动状态的方法，当提供所有的气动力、气动力矩和初始条件，它可精确描述旋转稳定弹和非旋转稳定弹的弹道和飞行动力学现象。

1.1 非线性6DOF弹道模型

非线性6DOF弹道模型由12个非线性的微分方程组成，分别为位置变量（x，y，z），姿态角（φ，θ，ψ），弹体速度（u，v，w）和弹体转速（p，q，r）.

设地面坐标系（OxEyEzE）为惯性坐标系，用来描述弹丸实际位置坐标。尾翼稳定弹转速低，弹体旋转产生的马格努力与其他气动力相比几乎可以忽略不计，因此在研究非旋转稳定弹时，可在弹体非滚转坐标系下建立弹丸动力学方程组，在非滚转坐标系下弹体不旋转，且滚转角φ始终为0°，并在地面系建立其运动学方程组［7］:

式中:xE、yE、zE分别为在地面坐标系下弹丸位置在3个方向上的分量；Fx、Fy、Fz分别为作用在速度坐标系下的气动力在3个方向上的分量；Mx、My、Mz分别是作用在弹体坐标系下的气动力矩在3个方向上的分量；g为重力加速度。相关力和力矩的表达式和坐标系的定义见文献［7］。

1.2 弹道线性化

1.1 节中6DOF弹道方程是非线性的，无法求出解析解，常用的求解方法是采用4阶龙格库塔法通过计算机求解得到其数值解，虽然计算精度高，但计算数据量大，占用计算机资源多，且计算时间长，因此对于弹载计算机进行实时解算，实用性不高，弹道解析解计算简单，速度快，且有助于分析影响弹道特性的力和力矩。为得到弹道方程解析解，基于线性理论对弹道方程进行线性化，做出以下假设:

1）弹丸轴向速度u相对于侧向速度v、w在量级上较大，则总速度，其中上标“～”表示在弹体非滚转坐标系［7］下的变量。绕x轴角速度p相对于绕y、z轴角速度q、r在量级上较大。

2）偏航角很小，可简化为sin ψ≈ψ，cos ψ≈1.

4）弹丸是轴对称体，则Ixy=Iyz=Ixz=0，Iy=Iz，其中Ixy、Iyz、Ixz为弹丸对弹体坐标系各轴的惯量积，Iy、Iz为弹丸对弹轴坐标系各轴的转动惯量。

1.3 微分变量的替换

弹道线性化通常将微分变量由时间变为无量纲弧长s，则弹丸俯仰和偏航运动方程将独立于弹丸几何尺寸，更方便分析弹丸射程数据。无量纲弧长s为弹丸的运动弧长与弹径d之比:

上标“·”表示对时间变量求导，上标“′”表示对无量纲弧长s求导，更改微分变量后，以符号ζ为例给出二者之间的关系:

应用以上假设和变换，可得到线性弹道模型为

式中:CD为阻力系数；CLα为升力系数；Clδ为尾翼导转力矩系数；Clp为滚转力矩系数；CMα为偏航阻尼力矩系数；CMq为俯仰阻尼力矩系数；ρ为大气密度。

以上方程并不是严格线性的，但可得到近似解析解。

2 末段弹道落点预测

以激光半主动末段修正弹为例，由于激光探测器有效作用距离约为3 km，可认为从距离落点斜距为3 km的点开始直至弹丸落地的弹丸轨迹为末段弹道。弹丸在弹道末段速度大，剩余飞行时间短，修正能力有限，为在短时间内保证准确有效地修正弹道偏差，需要快速精确地进行落点预测，得到落点偏差，产生修正指令，通过离散的有限次脉冲发动机控制，实现弹道修正。

线性理论对平射弹道和短时间飞行弹道预测有较高精度，修正线性理论在此基础上适用于高射角，长时间飞行弹道的预测［4］。在求解线性弹道过程中，假设气动系数是常数，速度vtot和俯仰角θ相对其他变量缓慢变化。因此，要保证全弹道预测的准确性，弹道计算必须周期性地更新，将上一步计算结果作为下一步计算的初值进行迭代。

末段弹道飞行距离短，弹道较平直近似直线，在末段弹道起始点，假设惯性测量单元（IMU）等测量单元能精确地测出弹道数据，利用弹道诸元估算弹丸剩余飞行弧长s，再将弹道诸元作为初值代入到线性弹道解析解中，s作为迭代步长，经过一步迭代就可得到弹丸落点所有参数。

2.1 剩余飞行弹道弧长的预测

为求解弹丸剩余飞行弹道弧长，需要对弹丸剩余飞行时间进行估算。从末段弹道起点开始，假设弹丸为质点，仅考虑弹丸气动力和重力，弹丸在地面坐标系z轴方向上的速度和气动力分别为vEz、FEz，其表达式如下:

式中:LEz、DEz分别为弹丸升力和阻力在地面坐标系z轴方向上的分量［7］。弹丸末段弹道近似为直线弹道，由于弹道末段飞行时间较短，可假设弹丸所受气动力为恒定值，则弹丸剩余飞行距离为l=vEztgo+ FEzt2go/（2m），从而得到剩余飞行时间为

将（20）式、（23）式代入到（24）式中得到剩余飞行时间。剩余飞行无量纲弧长s为弧长l与弹体直径d的比值，则:

式中:Ftot=|Ftot|为弹丸所受合力大小［7］，其中，

将（26）式代入到（25）式中得剩余飞行无量纲弧长。

2.2 末段弹道落点预测计算公式

第1节所得线性弹道方程中（15）式、（16）式、（18）式、（19）式是描述弹丸周转运动的一组耦合的非线性微分方程，假设气动系数、速度vtot和俯仰角θ相对其他变量缓慢变化，视为常数，则4个方程为线性方程:

式中:A=［πρd3/（8m）］（CLα+CD）；B=［πρd4/（8Iy）］CMα；E=［πρd5/（8Iy）］CMq；F=［Ixd/（Iyvtot）］~p.将（27）式进行拉普拉斯变换［8］，根据克莱姆法则得到4个变量的拉普拉斯表达式，则（27）式的微分方程组化为代数方程组，求出代数方程组的解，再进行拉普拉斯逆变换，得到v、w、q、r关于剩余飞行弧长s的解析解:

式中:σF、σS为圆周运动方程特征值实部；ΦF、ΦS为圆周运动方程特征值虚部；Cv0、Cw0、Cq0、Cr0、Cvfc、Cvfs、Cvsc、Cvss、Cwfc、Cwfs、Cwsc、Cwss、Cqfc、Cqfs、Cqsc、Cqss、Crfc、Crfs、Crsc、Cvrs是计算过程中的系数，可由计算机编程计算得到，由于篇幅所限，不列出其表达式。是关于无量纲弧长的函数，代入到（12）式、（13）式中，根据梯形近似法求积分得:

代入到（8）式～（10）式中求解得:

式中:θ0、ψ0、x0、y0、z0、v0、w0、q0、r0为预测开始时各变量的初值。（34）式～（36）式即弹丸剩余飞行无量纲弧长为s时，弹丸落点位置解析解。将2.1节所求s代入到（32）式、（33）式中得到θ（s）、ψ（s），将结果代入到（34）式、（35）式中求得弹丸预测落点（x，z）.

3 弹道解算验证

为验证线性弹道模型预测法的准确性，以某型120 mm迫击炮弹为例，弹体参数见文献［9］，对比了不同预测方法的落点预测精度及其解算速度。

以非线性6DOF弹道为参考基准，对比了3DOF质点弹道预测法和线性弹道模型预测法。弹丸发射初始参数为:初速vtot=318 m/s，初始偏航角ψ=2°，初始滚转角φ=0°，弹丸初始转速p=31.4 rad/s，q=0 rad/s，r=0 rad/s，弹丸初始位置x=0 m，y=0 m，z=0 m.弹丸在飞行过程中，由弹载GPS和IMU等惯性测量单元对弹道参数进行实时测量，得到弹道诸元（x′，y′，z′，φ′，θ′，ψ′，u′，v′，w′，p′，q′，r′），将弹道诸元作为初始条件代入到3DOF模型［10］中，采用4阶龙格库塔法求解弹道微分方程组得到预测落点，将弹道诸元代入到线性弹道模型中，根据第2节计算步骤可得到预测落点，将二者的结果与6DOF弹道计算结果进行对比，就可得到落点预测误差。

3.1 不同预测方法预测精度验证

为了验证线性弹道模型预测法在不同情况下的解算精度，从发射角和预测起始点两个方面进行仿真研究。取发射角θ为45°、55°、65°、75°，预测起始点R为弹丸到落点的斜距，取R分别为3.0、2.5、2.0、1.5、1.0、0.5 km.图1～图4为落点预测精度随着发射角和预测起始点变化的统计结果，预测误差值是将3DOF预测值，线性弹道模型预测值分别与6DOF基准弹道求差得到。

对比图1～图4可知，3DOF预测法对射程方向的落点预测精度很高，不同射角下不同起始点开始预测误差在2.5 m以内，对偏流方向的预测精度低，只有在小射角45°下预测误差在5 m以内。通过分析认为，3DOF质点弹道模型中只考虑弹丸受力，未考虑弹丸滚转和所受力矩，弹丸侧偏运动主要受弹体滚转和力矩影响，因此无法对弹丸的侧向运动作精确预测。

图1 3DOF预测法在射程方向的预测误差Fig.1 Predicted errors of 3DOF model in range direction

图2 3DOF预测法在偏流方向的预测误差Fig.2 Predicted errors of 3DOF model in cross range direction

图3 线性弹道模型预测法在射程方向的预测误差Fig.3 Predicted errors of linear trajectory model in range direction

采用线性弹道模型预测法对偏流方向落点进行预测，对不同射角下不同起始点开始预测误差都在8 m以内，且随着预测点的后移，精度迅速提高，当预测点R≤2.5 km时，预测精误差小于4 m.对射程方向的预测精度不如偏流方向的预测精度高，在射角θ≥55°且预测点R≤2.5 km情况下，预测误差为±20 m，在射角θ≥65°且预测点R≤2.0 km情况下预测误差减小到10 m以内。分析原因认为，线性弹道模型预测法是基于弹道线性化的假设，弹道越平直则预测越精确，弹道越弯曲则预测越不精确，由6DOF弹道仿真得知在水平面上的弹道比铅垂面上的弹道更平直［8］，因此对偏流方向的落点预测精度更高。此外，大射角情况下铅垂面上弹道比小射角情况下更加平直，因此采用线性弹道模型预测法对射程方向的预测在大射角情况下精度更高。影响弹道落点预测精度的因素除了弹道平直程度外，还有剩余飞行时间的预测误差，因为剩余飞行时间直接决定了剩余飞行弧长，即弹道预测解算的迭代步长。图5为不同时刻剩余飞行时间的预测误差，不同射角情况下时间误差基本一致，且随着预测点的后移时间误差减小，这也从另一面解释了随着预测点后移落点预测精度越高。

图4 线性弹道模型预测法在偏流方向的预测误差Fig.4 Predicted errors of linear trajectory model in cross range direction

图5 剩余飞行时间的预测误差Fig.5 Predicted errors of time-to-go

3.2 不同预测方法的解算速度对比

弹载计算机对弹丸落点进行实时预测，算法需同时满足解算精度和解算速度要求。文中仿真平台采用CPU为Inter Core主频为3.10 GHz的计算机，3DOF弹道解算步长取5 ms，仿真参数与3.1节一致，比较两种预测方法的解算时长如图6所示。

图6 两种预测方法解算时长对比Fig.6 Comparison of solution times of the two prediction methods

对比两种预测方法的解算时长，线性弹道预测法解算速度明显更快。3DOF预测法解算时长在0.9～6.5 s左右，随着预测起始点的后移，迭代步数减少，解算时长减小。线性弹道预测法解算时长基本稳定在0.4 s以内，且不随预测起始点和射角的变化而变化。因为线性弹道模型预测法从预测起始点开始，只需迭代一次，数据量小，解算时间短，而3DOF预测法需迭代多次，数据量大，解算时间长，因此线性弹道预测法更能满足实时性要求。

4 结论

在6DOF弹道模型的基础上，基于线性理论，将方程线性化，推导得出预测弹丸落点的计算模型，以6DOF弹道为基准，通过在不同射角不同预测点的情况下进行预测精度的对比，仿真结果表明:

1）在偏流方向预测精度较高，最大预测误差不超过8 m.

2）在射程方向，射角在55°以上且预测点R≤2.5 km情况下，预测误差为±20 m，射角在65°以上且预测点R≤2.0 km情况下预测误差减小到10 m以内，在此范围内满足落点预测精度要求。

3）该方法减小了落点预测的计算量，与传统的弹道积分外推落点预测法相比解算速度更快，在所有情况下解算时间均在0.4 s以内，满足末段修正弹落点预测快速解算要求。

本文旨在提出一种快速落点预测的方法，由于在小射角范围内，该预测方法在射程方向上的落点预测精度不高，因此还有待后续更深入的研究和完善。

（

）

［1］ 杨俊，钱宇.基于预测落点导引律的制导炸弹中制导律设计［J］.计算机仿真，2011，28（8）:87-89. YANG Jun，QIAN Yu.Midcourse guidance law design for guided bomb based on impact point predication guidance law［J］.Computer Simulation，2011，28（8）:87-89.（in Chinese）

［2］ 常思江，王中原，刘铁铮，等.鸭舵控制防空制导炮弹导引方法［J］.南京理工大学学报，2014，38（1）:123-128. CHANG Si-jiang，WANG Zhong-yuan，LIU Tie-zheng，et al. Guidance law for air-defense guided projectiles equipped with canards control［J］.Journal of Nanjing University of Science and Technology，2014，38（1）:123-128.（in Chinese）

［3］ 李超旺，高敏，宋卫东.基于摄动原理的火箭弹落点实时预测［J］.兵工学报，2014，35（8）:1164-1171. LI Chao-wang，GAO Min，SONG Wei-dong.Real-time impact point prediction of rocket projectile based on perturbation theory［J］.Acta Armamentarii，2014，35（8）:1164-1171.（in Chinese）

［4］ Ollerenshaw D，Costello M.Simplified projectile swerve solution for general control inputs［J］.Journal of Guidance Control&Dynamics，2012，31（5）:1259-1265.

［5］ Burchett B，Costello M.Model predictive lateral pulse jet control of an atmospheric rocket［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2002，25（5）:860-867.

［6］ Hainz L C，Costello M.Modified projectile linear theory for rapid trajectory prediction［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2005，28（5）:1006-1014.

［7］ Wernert P，Theodoulis S，Morel Y.Flight dynamics properties of 155 mm spin-stabilized projectiles analyzed in different body frames［C］∥Atmospheric Flight Mechanics Conference.Toronto，Ontario，Canada:AIAA，2010:1-17.

［8］ 修观，王良明，杨荣军.线性弹道模型建立与仿真［J］.海军工程大学学报，2010，22（2）:84-91. XIU Guan，WANG Liang-ming，YANG Rong-jun.Construction and simulation of linear trajectory model［J］.Journal of Naval U-niversity of Engineering，2010，22（2）:84-91.（in Chinese）

［9］ 曹小兵.脉冲末修迫弹弹道特性分析与控制方案设计［D］.南京:南京理工大学，2012. CAO Xiao-bing.Analysis of ballistic characteristics and design of control scheme for terminal trajectory correction mortar projectile equipped with lateral impulses［D］.Nanjing:Nanjing University of Science and Technology，2012.（in Chinese）

［10］ McCoy R L.Modern exterior ballistics:the launch and flight dynamics of symmetric projectiles［M］.Atglen，PA:Schiffer Publishing Ltd，1999.

Impact Point Prediction of Terminal Correction Projectile Based on Linear Trajectory Model

LI Xing-long1，JIA Fang-xiu1，WANG Xiao-ming1，YAO Wen-jin1，WU Wei2
（1.ZNDY of Ministerial Key Laboratory，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China；2.Unit 63863 of PLA，Baicheng 137001，Jilin，China）

A method of linearizing the 6 degrees of freedom（DOF）rigid trajectory model is proposed for the rapid impact point prediction of terminal correction projectile in terminal trajectory.The linearized trajectory equations and the analytical solution are obtained，and The analytic formula for rapid impact point prediction is derived in combination with the remaining flight arc length estimation formula.With the reference of 6 DOF trajectory，the prediction accuracy and calculation time of this linear trajectory model prediction method are analyzed at different firing angles and prediction points through simulation. The results show that the impact point prediction error is less than 8 m in cross range direction，the solution speed is improved by an order of magnitude compared to 3DOF numerical integral impact point prediction method.The proposed method provides the basis for rapid ballistic calculation in real-time by onboard computer，and also provides a reference for the engineering application of terminal correction projectile.

ordnance science and technology；trajectory calculation；impact point prediction；terminal correction projectile；linearized trajectory

TJ012.3

A

1000-1093（2015）07-1188-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.006

2014-10-15

中央高校基本科研业务费专项资金项目（30920130122001）

李兴隆（1988—），男，博士研究生。E-mail:lixinglong.sj@163.com；贾方秀（1981—），女，讲师，硕士生导师。E-mail:jiafangxiu@126.com