薄壁管滚珠旋压力计算模型

赵春江，王琛，耿明超

（1.太原科技大学重型机械教育部工程研究中心，山西太原030024；2.中国电子科技集团公司第12研究所，北京100044）

薄壁管滚珠旋压力计算模型

赵春江1，王琛1，耿明超2

（1.太原科技大学重型机械教育部工程研究中心，山西太原030024；2.中国电子科技集团公司第12研究所，北京100044）

给出了一种计算三维滚珠旋压力的解析模型。根据滚珠轨迹对空间坐标进行旋转，简化了滚珠与工件的空间关系表达式；基于空间解析几何理论和旋压件为半无限体的假设，得到了滚珠与管坯的接触边界方程，并在各坐标平面上进行投影得到二维曲线，通过对曲线的积分计算各坐标平面内的接触区投影面积。变形区单位压力通过钢球压入空间半无限体时成形区的平均压力近似相等的假设给出，计算各旋压力分量和总旋压力；通过对旋压力轴向分量的理论计算结果与实验数据对比，表明给出的计算模型的准确性。

兵器科学与技术；滚珠旋压；旋压力；坐标旋转；解析模型；实验对比

0 引言

滚珠旋压是一种强力精密旋压，采用滚珠对管材进行连续局部塑形成形［1-3］。Rotarescu［4］对滚珠旋压的过程及其旋压力的计算进行了系统的理论推导和数值模拟，借鉴了挤压成型变形区平均压力值的计算方法，并对接触面积的计算做了简化，但其推导过程复杂，且变形区接触面积误差较大；李茂盛等［5］忽略了滚珠轴向进给所需的压痕力，利用平面应变状态下圆弧形冲压头压入半无限体时平均接触压力与滚珠旋压接触平均力相等的假设，得出了滚珠旋压力的计算公式；文献［6］按照管件的均匀变形给出了滚珠旋压力简便的工程计算方法；Zhang等［7］对铜管内螺纹滚珠旋压折叠缺陷及其金相组织特性进行了分析；Jiang等［8-9］对带肋薄壁管的滚珠旋压过程进行了详细的分析和数值模拟，研究并讨论了纵向内肋薄壁管材滚珠旋压的变形准则并对滚珠旋压工艺参数之间的非线性建立了基于神经网络的预测模型，其成果较大地推进了滚珠旋压工艺和工模具设计理论的研究。马振平等［10］对滚珠旋压加工技术进行了系统的总结。

本文给出了一种滚珠旋压力的计算方法，相对于已有的计算方法，该方法基于对旋压件为半无限体的假设，并按照滚珠旋压轨迹螺旋升角将坐标进行旋转，简化了工件与滚珠的空间关系表达方式；根据滚珠球面和旋件的空间解析几何关系，结合滚珠当前位置与上一圈的旋压轨迹，得到了滚珠与管坯接触区的边界曲线表达式，从而得到了接触区在各自对应坐标内的投影面积，引入钢球压入空间半无限体时成形区的平均压力近似相等的假设，从而计算各旋压力分量；最后通过理论计算与实验数据的比较说明了本文计算方法的准确性。

1 工艺描述

图1所示为滚珠旋压原理示意图，支撑管、外支撑圈、圆锥模环和滚珠组成了滚珠旋压模具，旋压模具套在工件外壁，模具和工件相对转动同时产生沿轴向的相对进给运动，则套在心轴上的工件与钢球接触并受压产生塑性变形，达到壁厚减薄的目的。

2 旋压力空间解析模型

2.1 基本假设与坐标设置

由图1的滚珠旋压工艺原理可知，在滚珠旋压过程中，由于滚珠的曲率远大于管坯的曲率，且旋压过程是宏观的逐点挤压变形，变形接触区很小，且接触区内部变形应力对管坯其他部分几乎没有影响，所以把管坯假设成半无限体。

为简化解析模型的推导过程，建立动坐标系与固定坐标系。滚珠球心设为动坐标系的原点O，沿着滚珠轴向进给螺旋升角的方向建立动坐标系x轴，过球心与管件轴线的垂直相交线作为动坐标系z轴，垂足记作O′，动坐标系y轴通过球心且垂直于Oxz坐标平面。以O′点作为固定坐标系的原点，固定坐标系z′轴与动坐标线z轴方向相同。在管坯轴线上，作固定坐标系y′轴，垂直于O′y′z′坐标平面并过O′点建立固定坐标系x′轴。各坐标轴方向如图2所示。

图1 滚珠旋压示意图Fig.1 Schematic diagram of ball spinning

图2 解析模型坐标示意图Fig.2 Schematic diagram of coordinates of analytic model

2.2 接触面积的计算

根据图2可得滚珠（球）的坐标方程为

式中：Rb为滚珠的半径。

由于滚珠的曲率远大于管坯的曲率，且旋压过程是宏观的逐点挤压变形，变形接触区很小，假设管坯外表面是半无限平面，滚珠与管坯上一道次旋压所形成的轨迹在Oyz平面上的投影视为圆弧，其方程为

式中：f为轴向旋模比；n为滚珠个数；θ为滚珠旋压轨迹螺旋升角。

滚珠与管坯接触所形成的空间曲面，在动坐标系各坐标平面上的投影面积计算如下。

2.2.1 沿x轴方向的投影面积

滚珠与管坯的接触面积在Oyz坐标平面（x轴方向）的投影面积如图3所示的阴影部分，x轴方向面积由滚珠球面、上一道次旋压轨迹和管件在Oyz坐标平面内的投影共同确定。其中：AB为滚珠与管坯表面交线的投影，实际为一段曲线，因假设管坯表面为半无限平面，故AB视为直线段。曲线为滚珠与上一道次旋压轨迹的相交线在Oyz坐标平面上的投影。曲线为滚珠圆的一部分，是滚珠压入管坯内所形成接触区的边界线在Oyz坐标平面内的投影。

图3 x轴方向投影面积Fig.3 Projection area in x direction

滚珠在Oyz坐标平面的投影坐标方程为

上一道次旋压轨迹在Oyx坐标平面的投影坐标方程为

根据管坯外表面为半无限体平面的假设，管件在Oyx坐标平面内的投影方程为

式中：tp为减薄量。

由（3）式、（4）式、（5）式，可得图3中A点、B点、C点、E点的坐标分别为，，则x轴方向的投影面积

2.2.2 沿y轴方向的投影面积

滚珠与管坯的接触面积在Oxz坐标平面（y轴方向）的投影面积如图4所示的阴影部分，y轴方向面积由滚珠球面、上一道次旋压轨迹和管件在Oxz坐标平面上的投影共同决定。其中：AB为滚珠与管坯表面交线的投影，曲线为空间曲线在 Oyz坐标平面上投影的一部分，曲线为滚珠球面圆的一部分，曲线为空间曲线在Oxz坐标平面投影的一部分。

图4 y轴方向投影面积Fig.4 Projection area in y direction

图4中，AB的方程表达式为

AF的方程表达式为

根据（6）式～（9）式可得图4的A点、B点、F点、G点在Oxz坐标平面上的坐标分别为A（0，tp-Rb）、，则y轴方向的面积

2.2.3 沿z轴方向的投影面积

滚珠与管坯的接触面积在Oxy坐标平面（z轴方向）的投影面积如图5所示的阴影部分，z轴方向面积是由滚珠球面、上一道次旋压轨迹和管件在Oyz坐标平面内的投影共同确定。其中：曲线为滚珠表面与上一道次轨迹交线在Oxy坐标平面的投影，曲线为滚珠球面与管件外表面交线Oxy坐标平面的投影，直线AC为滚珠压入管坯内所形成接触区的边界线在Oxy坐标平面内的投影。

图5 z轴方向投影面积Fig.5 Projection area in z direction

AC的方程为

根据（10）式～（12）式可得出A点、B点、C点在Oxy坐标平面上的坐标分别为A（0，-Rb）、、.其中：，.则z轴方向的面积

2.3 旋压力的计算

在滚珠旋压工艺中，滚珠与管坯接触面上的压力在x轴、y轴、z轴3个方向上的分力可看作指向球心的均布力，由2.2节的Sx、Sy、Sz来计算三向旋压分力，即

式中：p为平均接触压力。

本文采用经实验和模拟验证可用的接触平均压力p计算公式［5］为

式中：σs为抗拉屈服强度。

由于上述计算模型的推导基于动坐标进行，为了方便分析及与实验数据进行对比，需将上述计算所得的各项旋压力分量转换到定坐标系中，切向分力、轴向分力、径向分力转换方程分别为

3 计算结果与实验数据对比

针对上述推导结果，应用VC计算机语言编写了三向滚珠旋压力的计算程序。为了与文献［4］的实验数据进行对比，选取文献［4］中的材料与工艺参数。根据文献［10-11］计算所用的金属材料的机械性能参数，其计算结果和实验数据如图6所示。由于实验条件的限制，只能对轴向旋压力分量进行测量，因此图6给出的计算和实验数据只针对总旋压力的轴向分量。为了充分显示旋压力随进给速度变化的非线性特性，如表1所示，第3组、第4组数据中取大跨度的进给速度1～10 mm.

图6 理论计算和实验数据比较Fig.6 Comparison between calculated and experimental data

表1 实验工艺数据表Tab.1 Experimental process data table

由图6可见：针对各组工艺参数总旋压力的轴向分量随着旋模比的增加而增大，总旋压力随着旋模比的对数呈指数增长趋势；相同条件下，旋压力随着减壁量和管坯直径的增加而增大；计算结果和实验数据的变化趋势一致；在旋模比较小时，实验数据和计算结果吻合良好；而在旋模比较大时，实验数据明显大于计算结果。原因在于旋模比增大会引起滚珠之间的金属堆积和隆起，从而增大滚珠旋进阻力；且大旋模比使变形速率增加，会提高工件的变形阻力，从而使旋压力数据加大。另外，工件与芯棒的摩擦阻力会阻止工件的延伸，也会增大轴向旋压力。

综上所述，本文给出的解析模型能够准确反映旋压力的变化趋势，小旋模比时可得到高精度的旋压力计算值。在大旋模比情况下，应考虑实际情况对旋压力进行适当修正，可保证滚珠旋压力计算模型的精确性和可靠性。

4 结论

1）本文根据滚珠轨迹对空间坐标的旋转关系，基于空间解析几何理论和旋压件，为半无限体的假设给出了一种计算三维滚珠旋压力的计算模型。给出了其变形区单位压力通过钢球压入空间半无限体时，成形区的平均压力近似相等的假设，相对于已有的计算模型，简化了滚珠与工件的空间关系表达式，且具有较高的精确性。

2）采用现有文献［4］的实验材料和工艺参数，应用本文给出的计算模型进行总旋压力的轴向分量的计算，通过对比计算结果和实验数据，发现二者的变化趋势一致。本文给出的并考虑了大旋模比影响的计算模型具有较高的精度和可靠性。

（

）

［1］Tang Y，Chi I Y，Chen J C，et al.Experimental study of oil-filled high-speed spin forming micro-groove fin-inside tubes［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacturing，2007，47（7/8）：1059-1068.

［2］Hua F A，Yang Y S，Zhang Y N，et al.Three-dimensional finite element analysis of tube spinning［J］.Journal of Materials Processing Technology，2005，168（1）：68-74.

［3］Wong C C，Dean T A，Lin J.A review of spinning，shear forming and flow forming processes［J］.International Journal of Machine Tools&Manufacture，2003，43（14）：1419-1435.

［4］Rotaresuc M I.A theoretical analysis of tube spinning using balls［J］. Journal of Materials Processing Technology，1995，54（1/2/3/4）：224-229.

［5］李茂盛，康达昌，张士宏，等.滚珠旋压工艺中成形区接触压力的分析计算［J］.材料科学与工艺，2004，12（2）：125-128. LI Mao-sheng，KANG Da-chang，ZHANG Shi-hong，et al.Research on contacting pressure in ball-spinning［J］.Materials Science and Technology，2004，12（2）：125-128.（in Chinese）

［6］徐洪烈.强力旋压技术［M］.北京：国防工业出版社，1984. XU Hong-lie.Power spinning technology［M］.Beijing：National Defense Industry Press，1984.（in Chinese）

［7］Zhang G L，Zhang S H，Zhang B，et al.Analysis on folding defects of inner grooved copper tubes during ball spin forming［J］. Journal of Materials Processing and Technology，2007，184（1）：393-400.

［8］Jiang S Y，Ren Z Y.Analysis of mechanics in ball spinning of thin-walled tube［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，21（1）：25-30.

［9］Jiang S Y，Ren Z Y，Xue K M，et al.Application of BPANN for prediction of backward ball spinning of thin-walled tubular part with longitudinal inner ribs［J］.Journal of Materials Processing Technology，2008，196（1/2/3）：190-196.

［10］马振平，张涛.滚珠旋压成形技术［M］.北京：冶金工业出版社，2011. MA Zhen-ping，ZHANG Tao.Ball spinning forming technology［M］. Beijing：Metallurgical Industry Press，2011.（in Chinese）

［11］机械设计手册编委会.机械设计手册：第1卷［M］.北京：机械工业出版社，2004：3-313. Mechanical Design Manual Editorial Board.The mechanical design manual，volume 1［M］.Beijing：China Machine Press，2004：3-313.（in Chinese）

Calculation Model of Ball Spinning Force of Thin-walled Tubes

ZHAO Chun-jiang1，WANG Chen1，GENG Ming-chao2
（1.The Heavy Mechanical Engineering Research Center of Ministry of Education，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，Shanxi，China；2.The 12th Research Institute，China Electronic Technology Group Corporation，Beijing 100044，China）

An analytical model is presented to calculate the 3D ball spinning force.The spatial relation expression of the ball and workpiece is simplified through the rotation of spatial coordinates according to the track of the ball.The contact boundary equations of the ball and the workpiece are obtained based on the theory of space analytic geometry and the assumption that the spinning workpiece is a semi-infinite body，and the 2D curves are obtained by projecting on the coordinate planes.The projection of spatial contact area on each coordinate plane is calculated.The unit pressure in the deformation zone is given based on the assumption that the average pressure is approximately equal to that while a rigid ball is pressed into the space of semi-infinite body，and then the total spinning force and its components could be calculated.The comparison between theoretical results and experimental data shows that the proposed model is accurate.

ordnance science and technology；ball spinning；spinning force；rotation of coordinate；analytical model；experimental comparison

TG316

A

1000-1093（2015）05-0928-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.05.024

2014-12-29

国家自然科学基金项目（51375325）；山西省自然科学基金项目（2014011025-1）

赵春江（1975—），男，副教授。E-mail：zhaochj75@163.com