“以数解形”之我见

侯警予

G633.6

1、质疑

笔者在高三解析几何复习中，下意识引入了这样一道题目，让学生分成两组质疑，合作探安究：

如图1：抛物线y2=2px（p>0）与双曲线 （a>0，b>0）共焦点F2，且抛物线与双曲线两交点A、B与焦点F2共线，则双曲线的离心率为 。

请学生板书解题过程，学生一组（出乎意料）给出了下面一种代数解法：

联立方程，得 b2x2-2pa2x-a2b2=0，设A（x1，y1）、B（x2、y2），则x1+x2= ，由图1知x1=x2= ，所以 ，化简得 ，故离心率 。

学生一组板书后，有一部分学生提异议，学生二组站起来给出另一种解法：

图1，连接AF1，由二次曲线共焦点得 ，所以xA=c，yA=2c，则A（c，2c）。由双曲线第一定义有 得 ，故

经过数分钟的思考和讨论，大家一致认为学生一组的解法是错的，因为由x1+x2=-a2可知两根异号，与图l中两交点横坐标均为正根且相等相矛盾，所以学生二组的解法是正确的。

笔者听过的很多公开课中都有此种类型的问题，教师大都直接采用学生二组的方法（几何法）处理，但有时学生却未必如你所愿，恰恰选择的是代数法（学生一组的解法），此时应该怎么办呢？难道直接告诉学生：以后采用几何法解此类型问题更好，代数法不适合，原因呢？

此时执教的我心中一喜：“误解”的产生是一个契机，教师若能好好利用往往给学生带来深刻的启迪。

2、探究

学生一组：方程联立得到的x1+x2=-a2为什么和图1中的直观不同呢？若x1代表的是A、B的横坐标，那么x2又代表了什么呢？

学生二组：我觉得x2是一个虚根。但x2到底代表了什么意思，暂时还没弄清楚。

教师：我们不妨一起解下去看看。考虑到方程有虚根，我们在复数范围内进行讨论。如图1，因为A、B两点横坐标相同，故设A（x1，y1），B（x2，y2），联立 得b2x2-2pa2x-a2b2=0。在复数范围内解此方程，由韦达定理知x1+x2= ，x1x2=-a2，又共焦点得x1= ，于是 显然x2是复数范围内的虚根，即 ，又 =c，化简可得c可得c4-6a2c2+a4=0，即e4-6e2+1=0，解得e= 或e= 。

学生一组：代数法原来也能解啊！

学生二组：这与用几何法解答一致嘛！不对，怎么还有一个解e= ，难道是椭圆？

教师：想法很好！那这是一个什么样的椭圆呢？

学生一组：说明虚根x2= 就在那个椭圆上，而且应该是抛物线方程与椭圆方程联立的实根！

学生二组：我猜那个椭圆应该与这条双曲线有重大关系，难道是 （a>0，b>0）？我们不妨试试。

学生一组：如图2，由 得b2x2-2pa2x-a2b2=0，设C（x3，y3）、D（x4、y4），则x1+x2= ，x3x4= -a2，对比

b2x2-2pa2x-a2b2=0，由韦达定理知x1+x2= ，x1x2=-a2，我们发现x3+x4=-（x1+x2），x3x4=x1x2，即图中2中实根和虚根均在两个韦达定理中体现出来了，原来椭圆与抛物线联立得到的根恰和双曲线和 （a>b>0），从这里也验证了一个定理：实数ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0的根互为相反数。

学生一组：现在我明白了刚刚的错误所在：我解答时用的韦达定理x1+x2= 并没有错，但是韦达定理中的x2并非是点B的横坐标，而是一个虚根，“一对共顶点椭圆双曲线”中的椭圆与抛物线的交点横坐标；代数解法解得离心率e= ，那就正好一次性解决了“一对共顶点椭圆双曲线”的离心率，其中椭圆是e= ，双曲线是e= ，我喜欢的代数解法太完美了，一举两得！

教师：甲同学，回顾本题，以后这种问题你们觉得应该如何人手更妙呢？

学生一组：首先还是应该从数形结合中的“以形辅数”人手更简洁吧！

教师：对！但是老师也觉得“以数解形”的方法站在更高的角度看透了问题的本质！

3、深省

（1）从学生的角度而言，笔者认为其思维往往比较直接，给什么做什么是大部分学生解决数学问题的基调.就本题而言，学生一组解决本题的思维倾向于代数方式，采用联立方程和韦达定理，却不知二元二次方程中虚根的存在；学生二组比较倾向于图形化的策略，利用数形结合以形解数轻松得到答案。在课堂讨论中，同学们一致提出了学生一组解答错误，但并不清楚其错误的原因，在本问题的背后深深隐藏着学生对“以数解形”完备性认知的缺乏，同时也让学生深刻理解了“以数解形”在这样问题中的优越性，值得教师教学多加渗透和予以关注。

（2）从教师的角度而言，这样的问题有利于开拓学生的视野和培养其创新的思维，值得在这样的探究性问题上多花时间、多花工夫。在平时教学中，笔者认为“以形辅数”（几何法，使用相对较多）很轻快、较简洁、便于教学，不足之处在于只能就题论题；而“以数解形”（代数法）往往站在了系统的高度，很完美、较复杂，但散发出问题的本质。传授知识时，教师应该毫无疑问的多选择几何法，但对于自身和优秀的学生而言，也要注重“以数解形”对圆锥曲线是一个统一体的本质理解。

（3）从本题的角度而言，笔者想起人教A版中圆锥曲线的章头图，何为“圆锥曲线”呢？当然是用一个截面截圆锥而成的嘛！其最初来源于希腊数学家阿波罗尼斯于公元前225年写的一篇题为“圆锥截面”的论文。书中通过特定角度切割圆锥体表面得到圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线。其实用统一的眼光来看，它们本身是一个整体。其差别在于用截面的角度带来了圆锥曲线离心率的不同，但是e>1和0≤e<1之间有着完美的对称。用统一的代数语言——方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0就是对他们最完美的整体诠释。

（4）从思想方法的角度而言，圆锥曲线问题渗透出的主要数学思想方法便是数形结合思想。有时形优于数，有时则恰恰相反，这需要教师通过各种问题对学生进行经验的积累。记得华罗庚先生说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。”本文中的学生一组恰好“数无形时少直觉”，学生二组正是“形无数时难人微”。

近年来，数学学科命题把“以能力立意为指导，以考查能力和素质为导向”作为命题的一条基本原则，高考数学试题逐渐形成了“立意鲜明、背景新颖、设问灵活、层次清晰”的新特色，高考数学简单地讲是三考：考基础知识，考思想方法，考能力素质，本文所谈及的问题便是这样的问题。其有着基础性、公平性，有效地考查了学生的现阶段能力，同时又甄别了学生学习的潜能，这有利于中学素质教育的实施和为大学创新人才的选拔。

一言以蔽之，借一班略知全豹，以一目尽传精神。“以数解形”正验证了华罗庚“数形结合百般好，隔离分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离”之要言。