应用非线性规划求解月球探测器着陆轨道最优控制

2015-10-30肖刚

韩山师范学院学报 2015年3期

肖刚

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州 521041）

月球探测是一个庞大的工程，包含了诸多的关键技术，其中月球探测器软着陆是一项极其关键的技术[1]．月面软着陆要求探月器以很小的相对速度着陆在月面上．探月器靠改变发动机推力，完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段等软着陆任务．软着陆问题需要对探测器轨道优化，实现对探测器进行最优控制，关键是找到最优飞行轨迹和推力大小与方向的时间历程[2，3]．软着陆控制问题可以描述为两点边值问题[2]．对于两点边值问题，通常难以求得最优控制规律的解析表达式．因此，必须借助数值计算方法，利用计算机反复迭代计算，直到获得满意的结果[4-7]．目前求解两点边值问题有很多方法可以利用，例如共轭函数法、补足函数法，扫描法、遗传算法等[4-8]．本文把控制变量离散化，利用拉格朗日原理把两点边值问题转化为非线性优化问题，应用非线性规划求解月球软着陆最优控制问题．仿真结果表明，本文的方法是有效的．

1 软着陆动力学模型

假设月球引力场均匀，忽略月球自转，建立着陆坐标系如图1所示．其中O 为月心，OY 轴从月心指向近月点，OX 垂直于OY ．r 为探测器月心距，θ 为OY 与r 矢径的夹角． ψ(t)为矢径r 垂线到发动机推力方向的夹角；F(t)为发动机推力，月球探测器质心运动方程为[9]

图1月球的软着陆极坐标系

其中v 是探测器在矢径r 方向上的速度；ω 是探测器方位角θ 的角速度；m 是探测器质量； μ 是月球引力常数；C 为制动火箭的排气速度，是一个常值．

软着陆的初始条件由探测器在椭圆轨道近月点处的状态确定

探测器在到达月面时实现软着陆，到达目标点应有如下终端条件

其中rf是月心到目标点的距离，vf为探测器到达目标点的速度，ωf为探测器到达目标点的角速度．

2 耗燃最优控制设计

按照耗燃最优的要求，着陆器软着陆过程性能指标为

基于燃料消耗最少的最优控制模型可以描述为

探测器对F 与ψ 是分段控制的，可对问题（4）的控制变量F 与ψ 进行离散化，对离散化参数进行优化，从而得到最优轨迹．具体步骤如下：把连续时间段[t0,tf]平均分为N 段[ti-1,ti]，i=1,2,…,N ，每个时间段F 与ψ 为常数Fi与ψi，利用拉格朗日最优化原理，把问题（4）转化为含有N个变量Fi，N个变量ψi，以及变量tf，λ1，λ2和λ3的非线性优化问题．设则非线性优化问题可以描述为

3 仿真结果

设月球引力常数μ=4.9×1012m2/s2；比冲C=2 940 m/s ； r(0)=15 000 m ； v(0)=1 712 m/s ；θ(0)=0； ω(0)=9.7×10-4；m(0)=2 400 kg；把连续时间段[t0,tf]平均分为10 段，用软件MATLAB 求解非线性规划问题（5）（程序见附录），可以得到发动机燃料消耗最少为1 061.11 kg，飞行的时间为415 s．

表1给出了控制变量Fi,ψi仿真的最优值，可以看出，燃耗最优轨道为一条始终制动的轨道，制动期间，发动机始终以最大推力进行工作，推力方向角变化逐渐变大，符合工程实际．