从忘记“÷2”说起

冯胜++杨道吉

在教学中，我们会发现有些学生在计算三角形面积时，会直接用“底×高”。如果我们让学生检查，他们会很快发现自己忘记“÷2”，并很快订正。面对这样的“粗心”现象，笔者认为我们不能简单地站在“成人视角”去理解，而应更多以“儿童视角”来分析产生此类错误的原因，以便我们运用更适合儿童心理的教学方法，尽量避免孩子们在认识上“走弯路”。

基于这样的认识，笔者开展了有关“三角形的面积计算”的教学研究，准备从学生作业错例分析入手，结合对教学内容的再次思考，探寻学生错误的真实原因，提出较为合理的教学建议。

一、三角形面积计算的典型错误和错因分析

（一）测试的问题及意图

在设计测试的问题时，我们将三角形的面积计算的数学运用分为三个层次。

（二）测试的对象和过程

我们选择了使用人教版课标教材小学数学五年级上册的F小学五年级3个教学班。其中2个班的学生作为对照班在没有使用本研究的教学建议学习“三角形面积计算”后完成测试，另一个班的学生作为实验班在使用本研究的教学建议学习“三角形面积计算”后完成测试。

测试后我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上选择了部分学生单独进行访谈，测试与访谈在同一天完成。

（三）测试的结果与分析

1.三角形的面积计算的整体掌握情况

我们将对照班的78名学生的测试卷的三个问题从正确率、错误率以及“算法”错误率三个方面进行了初步的数据统计，其中“算法”错误指运用三角形面积计算公式时，列式造成的错误。有关统计数据如下。

F小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（1）

由上表可知：学生对三角形的面积计算的掌握情况是有层次的，其中“算法”错误有下面两类，一是学生直接用“底×高”来计算三角形的面积，二是直接用“三角形的面积÷高”求三角形的底。

针对以上错误，笔者对学生进行了访谈。在访谈时，多数学生看到自己出现的第一类错误，随即就说：“老师，我忘记除以2了。”当我们追问：“你为什么会忘记除以2呢？”学生答道：“和平行四边形的面积计算方法弄混了。”针对第二类错误，学生说：“求长方形和平行四边形的，也是这样算的。”由此可见，学生对三角形的面积计算公式的运用，很容易受长方形和平行四边形的面积计算公式的影响。

2.三角形的面积计算在不同背景中的掌握情况

为进一步探索学生在不同背景中，三角形面积计算公式正向和逆向运用的相互影响关系，我们关注了测试答卷中以下三类情况，学生答题过程中“算法”错误统计，如下表。

F小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（2）

从上表可知：（1）部分学生虽然能直接正向运用三角形面积计算公式，但在具体情况中正向运用时错误较多。出现该现象的原因是具体情境中运用公式时，易受情境信息和干扰因素等影响。（2）部分学生对三角形的面积计算的逆向运用掌握情况低于正向运用。（3）当学生在不同背景中，能克服干扰因素和复杂背景正确正向运用三角形的面积计算公式时，三角形的面积计算公式的逆向运用掌握也较好。

也许我们会有这样的疑问：为什么教学过程中学生操作了，教师演示了，还有学生出错呢？真的是学生无法跨越这道坎吗？下面是笔者观察到的教学片断，也许会引起我们一些新思考。

【教学现象】

（1）每个组准备了一些三角形，请同学们摆一摆，拼一拼，看能不能拼成我们学过的平面图形（学生合作探究）。

（2）交流汇报，每个小组选代表到黑板上演示。

（3）小结：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

（4）自主探究：三角形与所拼成的平行四边形有什么关系？

（5）合作探究：通过“转化”“找关系”，你能推导出三角形面积计算公式吗？

（6）板书：三角形的面积=底×高÷2

S=ah÷2

【分析与思考】

在这个教学片断中，学生充分经历了三角形面积计算公式的推导过程吗？笔者认为学生只是被动地按教师的设计机械地完成了一系列操作，没有充分经历计算公式的探究过程。在这一过程中，学生只是“操作工”，对于“为什么会想用两个完全一样的三角形来拼”“还有其他推导方法吗”等问题学生没有主动地思考，更谈不上猜想和创造。这样肤浅的操作导致学生没有深刻的理解，记忆也不深刻。这样看来，学生作业时会忘记“÷2”也是情有可原。

二、三角形面积计算的教学内容和教材分析

从以上测试中我们发现部分学生习惯于将平行四边形的面积计算公式直接运用于三角形的面积计算中。为此，我们从平行四边形和三角形的面积计算公式的推导过程、面积计算公式的数学结构以及公式的变式运用等三个方面来对比分析，再次思考学生错误的真实障碍。具体分析如下。

平行四边形和三角形的面积计算学习内容的对比分析

从以上对比中，我们可以发现：

1.在平行四边形的面积计算公式推导过程中，我们将平行四边形转化成长方形，虽然转化前后图形的形状发生了变化，但前后两个图形的面积没有发生改变。这样的图形面积计算公式的推导方法，称为等积变换。但三角形的面积计算公式推导过程是将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。像这样通过图形的拼组推导面积计算公式的方法，称为图形重组。我们可以发现，三角形的面积计算公式的推导过程与平行四边形有明显的差异。

2.从两个计算公式的数学结构来看，由于S=ah前面有系数“[12]”，公式本身也比前者复杂。因此，在计算公式的逆运用时，需要先将系数“[12]”转化成1，即2S=ah。而学生在长方形或平行四边形的面积计算公式逆运用时，都直接是将面积除以一个变量，如a=S÷b。回顾这些学生面积计算的经历，发现像三角形的面积计算公式这样的数学结构还是学生第一次接触。

综上分析，我们可以知道三角形面积计算公式的推导过程、数学结构等方面都比平行四边形的复杂，是学生数学经历的一次跨越。

三、“三角形面积计算”的教学建议和实验结果

通过对平行四边形和三角形面积计算的多角度比较、分析，我们找到了学生数学学习的障碍，为解决问题找到了方向。下面笔者对如何帮助学生理解三角形的面积计算公式以及克服已有学习经验的负迁移，提出几点建议。

（一）完善结论的推导过程，丰富数学体验。

在以上分析过程中，我们可以知道要帮助学生在解决问题中克服忘记“÷2”的习惯，应该有效帮助学生理解为什么“÷2”，也就是理解三角形面积计算公式的推导过程。

那么这一过程的核心问题是什么？探究的起点在哪里？三角形的面积计算公式推导过程较平行四边形的复杂，其原因是需要用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。如果不是学生提前已知或预习，这样的联想对于学生还是有一定难度的，因此，“为什么会想用两个完全一样的三角形来拼”是核心问题。学生的探究起点在哪里呢？在探究平行四边形面积时，学生是沿平行四边形的高剪开，通过割补转化成长方形。在探究三角形面积时，学生也会联想到沿三角形的高剪开，此时剪下后两个直角三角形无法拼出规则图形，但利用同伴剪下后的直角三角形拼成了一个平行四边形（长方形），这样的探究经验应该充分迁移。根据这样的思考，笔者设计了如下教学思路。

【改进思路】

（1）寻找思路

①唤醒旧知：复习三角形分类、底和高的相关知识。

②提出猜测：三角形的面积计算公式。

③寻找转化思路：我们可以将三角形转化成会求面积的图形。我们会求哪些图形的面积呢？（生：平行四边形、长方形和正方形）

（2）第一次探究（剪拼）

①学生动手操作。（此时每个学生只有一个锐角三角形，且同桌之间的三角形是完全一样的。）

②反馈剪拼方法。

第一层次：学生通过动手操作，发现将这个三角形沿高剪开后很难转化。

第二层次：用沿高剪开后的直角三角形和同桌剪下的直角三角形拼成一个平行四边形（或长方形）。

第三层次：用自己和同桌的三角形拼成了一个平行四边形。

教师请学生把他的拼法详细介绍，引导学生进行第二次探究。并提问用这样的两个三角形可以拼成一个平行四边形，是不是其他类型的三角形都可以这样拼呢？

（3）第二次探究（拼组）（略）

这样的教学思路，尊重和有效利用了学生的学习经验，引导学生充分经历探究过程，并激发学生产生“用两个完全一样的三角形可以拼出平行四边形”的联想，丰富了学生的数学体验。

（二）沟通知识间的异同点，理解数学本质。

在沟通平行四边形和三角形面积计算公式时，我们可以从以下两个方面进行比较：

1.计算公式的数学结构。有关公式的数学结构前面已经进行叙述，此处不赘述。需要关注的有两点：第一，引导学生说清为什么除以2；第二，通过对比练习发现它们面积之间的关系，如“一个平行四边形的面积是50平方厘米，与它等底等高的三角形面积是（ ）平方厘米”。这样的练习，不仅可以帮助学生理解平行四边形和三角形之间的关系，而且帮助学生理解两者的计算公式。

2.计算公式的内涵。虽然两者的面积计算公式有差异，但它们都是根据图形的核心要素“底”和“高”来计算图形的面积。

（三）运用合理的解答方法，克服思维定势。

学生在逆用三角形面积计算公式时，出现像错例中直接用“面积÷底=高”的思路，其原因：一是学生对计算公式没有充分理解；二是受求长方形的长（或宽）以及平行四边形底（或高）的思路的影响，出现了思维定势。

因此，在教学中关注对这一计算公式的变式“2s=a×h”的理解，引导学生认识在已知三角形面积和底（或高）的情况下，求高（或底），可以用三角形的面积×2÷底（或高）。另一方面，要引导学生运用合理的解答方法，克服思维定势的干扰，如通过列方程的方法解决此类问题。

在探寻本研究教学策略后，我们在F小学选择了与前面测试班级学业水平无明显差异的实验班（48人）结合提出的教学建议进行了教学，并利用以上测试题进行测试，将有关数据整理，见下表。

对照班学生与实验班学生测试结果统计

从以上统计结果，可以看出本研究的教学建议对于学生学习三角形的面积计算这一内容有一定的促进作用。

（作者单位：华中科技大学附属小学）

责任编辑 林云志