“名称互余角互余”在高中数学教学中的趣用

岳昌庆

初中“解直角三角形”教学中，间接介绍了一组三角诱导公式：在Rt△ABC中，A+B=90°，则sinA=cosB， cosA=sinB， tanA=cotB， cotA=tanB.用文字表述为“名称互余角互余”.

到了高中阶段，随着角的范围扩大至全体实数，该诱导公式也仍然成立.虽然有了新的解释、证明与记忆方法，但仍可用“名称互余角互余”来记忆.这一记忆方法只要验证了两个角（各自在实数范围内取值，不一定是锐角）的和是90°（即）后，即在“角互余”及三角函数“名称互余”的前提下，这两个三角函数值相等.这一记忆方法缩略了应用公式前的一步——等量代换，而这一步“等量代换”在教学中，让很多初学诱导公式的学生望而却步.

以下略举几例该诱导公式在高中教学中的趣用.

【例1】化简sin（π-α）+cos（π-α），其中n∈Z.

【分析】原式=sin（nπ--α）+cos（nπ+-α），

常规思路：分n为奇数、偶数分别讨论均可得：原式=0.

也可这么来观察，（-nπ++α）+（nπ+-α）=，于是，应用“名称互余角互余”的解法为：

因为sin（-nπ++α）=cos（nπ+-α），

所以，原式=-sin（-nπ++α）+cos（nπ+-α）

=-cos（nπ+-α）+cos（nπ+-α）=0.

【例2】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）.

A.3α-β=π B.2α-β=π

C.3α+β=π D.2α+β=π

【略解】tanα===cot，

又由已知可得α∈（0，），∈（0，），-∈（，），所以，α+=，故选D.

【例3】函数y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x）的最大值为 ，最小值为 .

【分析】常规思路之一：用两角和与差的正、余弦公式打开得y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x）

=3sinxcos10°+3cosxsin10°+5sin80°cosx-5cos80°sinx

=3sinxcos10°+3cosxsin10°+5cos10°cosx-5sin10°sinx

=sinx（3cos10°-5sin10°）+cosx（3sin10°+5cos10°）

=sin（x+ψ）

=sin（x+ψ） （其中，ψ为辅助角，tanψ=）.

也可这么来观察，（x+10°）+（80°-x）=90°，于是，应用“名称互余角互余”的解法如下：

5sin（80°-x）=5cos（x+10°），

y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x）

=3sin（x+10°）+5cos（x+10°）

=sin（x+10°+ψ）（其中，ψ为辅助角，tanψ=，ψ为第一象限角）.

故最大值为，最小值为-.

【例4】已知函数f（x）=2sin（2x+）+cos（2x-）.

（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值.

【分析】常规思路：同上例，需将sin（2x+）及cos（2x-）分别根据两角和的正弦及两角差的余弦公式展开、合并同类项后，再用辅助角公式，最终化为3sin（2x+）的形式，问题得解.

也可这么来观察，（2x+）+（-2x）=，于是，应用“名称互余角互余”的解法如下：

f（x）=2sin（2x+）+cos（-2x）=2sin（2x+）+sin（+2x）=3sin（2x+）

（Ⅰ）最小正周期T=π，递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）.

（Ⅱ）函数f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值分别为-，3.

【例5】已知sin（-α）=，则cos（+2α）的值为（ ）.

A. B.- C. D.-

【分析】本题将+2α看成 2（+α），而（+α）+（-α）=，于是，应用“名称互余角互余”的解法如下：

【解】由已知可得sin（-α）=cos（+α）=，所以，cos（+2α）=2cos2（+α）-1=-. 故选D.

以下为练习，供读者参考.

【作业1】化简sin（π-α）-cos（π-α），其中n∈Z.

【作业2】计算sin（x-）+cos（x+）= .

【作业3】已知sin（α-）=，则cos（α+）的值为 .

【作业4】已知sin（α-）=，则cos（α+）的值为（ ）.

A. B.- C. D.-

【作业5】若α是第三象限角，且cos（75°+α）=，则cos（15°-α）+sin（α-15°）的值为 .

【作业6】已知sin（-x）=，则sin2x的值为 .

【作业7】求函数 f（x）=sin（+4x）+cos（4x-）的最小正周期和递减区间.

【作业8】[2014年高考全国课标Ⅰ理第8题5分]设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）.

A.3α-β= B.2α-β=

C.3α+β= D.2α+β=

答：【作业1】0. 【作业2】0. 【作业3】-. 【作业4】 D.【作业5】. 【作业6】.【作业7】，[+，+]（k∈Z）. 【作业8】B.endprint