对一道常见习题解法的纠正

刘远辉

摘   要：指出通常资料上对一道圆周运动中的临界问题的错误解法，并通过严谨分析，给出正确完整的解法。

关键词：匀速圆周运动;圆盘;最大静摩擦力;相对滑动

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2015）9-0040-2

在很多教学资料中，常出现这样一道题：如图1所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37 °，在距转动中心r=0.1 m处放一个小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.8，假设木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同。若要保持小木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大不能超过（ ）

A.2 rad/s       B.8 rad/s

C. rad/s     D.rad/s

几乎所有的资料都是给出类似如下的解答：

“只要小木块转过最低点时不发生相对滑动就能始终不发生相对滑动，设其经过最低点时所受静摩擦力为f，由牛顿第二定律有f-mgsinθ=mrω2;为保证不发生相对滑动，需要满足f≤μmgcosθ，联立解得ω≤2 rad/s。故A正确，B、C、D错误。”

上述解法的前提是：“只要小木块转过最低点时不发生相对滑动就能始终不发生相对滑动”，只要知道了这个前提，接下来的解答过程就简单了，只要按照上述资料的解法就可以了。但是，这个前提是怎么来的呢？几乎所有资料的解答都没有给出。笔者认为，此题应从一般情况入手分析，才够严谨。解答过程如下：

解析：作沿转轴方向的俯视图，如图2所示。

过O点作圆周轨迹的水平直径AOB。显然，最易滑动的位置应在直径AOB之下的半圆部分。在下半圆任意位置P，对小木块受力分析如图。其中，G1是小木块重力沿斜面向下的分力，有G1=mgsin37 °。f1是小木块所受静摩擦力在圆半径方向的分力，f2是小木块所受静摩擦力在圆切线方向的分力。二者的合力为小木块实际所受静摩擦力f（图中未画出）。

因小木块做匀速圆周运动，所以在切线方向上，应有：

f2=G1cosθ（1）

在半径方向上，应有：

f1-G1sinθ=mω2r （2）

实际静摩擦力可表示为：

f=f+f（3）

设最大静摩擦力为fm，则应有：

f2≤f（4）

再结合（1）（2）（3）式，可得：

（G1sinθ+mω2r）2+（G1cosθ）2≤f，

其中，fm=μmgcos37 °。

将所有已知数据代入后，并化简可得方程：

ω4+120sinθω2-496≤0

或sinθ≤（5）

依照题意，θ的取值范围是0≤θ≤90 °，因而0≤sinθ≤1。欲使（5）式恒成立（即小木块相对圆盘始终静止），只需1≤，或ω4+120ω2-496≤0。

此不等式的解为：0≤ω2≤4。

所以，小木块的角速度的取值范围应该是：0≤ω≤2 rad/s。显然角速度的最大值为2 rad/s，且此时对应的sinθ=1，即θ=90 °。也就是说，小木块在最低点位置时最易滑动，且在ω=2 rad/s时开始滑动。本题选A，解毕。

如果按照上述完整解法来解决此题，难度较大。但如果因为难度大，就忽略了对问题的严谨分析，而是粗略地认为最低点先达到最大静摩擦力，显然不利于培养学生严谨思考的习惯。所以笔者建议，在日常教学中，为学生选题要慎重，给学生留作业之前教师自己应该先做一遍。

参考文献：

[1]物理课程教材研究开发中心 课程教材研究所·物理·必修2[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]孙慧.物体做圆周运动的向心力[J].物理教学探讨，2007，25（3）：11-13，15.

（栏目编辑  罗琬华）