物体在变力作用下的直线运动分析

刘旭华

摘  要 ：通过详细推导分析物体（质点）在力作用下的运动规律，进而得出“另类匀变速直线运动”的基本规律以及和常规匀变速直线运动的区别，并详细讨论其在电磁感应现象和其他情景下的应用。

关键词：另类匀变速直线运动;加速度A;位移中点的速度;冲量I

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2015）9-0042-3

1    分析推导

如果质点受到一个与运动速度成正比的力F=±kv，根据牛顿第二定律：±kv=m，所以有：=±dt，v=Ce，由初始条件t=0时，v=v0得： v=v0e。

令A=±， v=v0e（1）

由此，我们通过对（1）求导还可以得出加速度：

a=Av0eAt=Av（2）

通过对（1）积分可得位移的关系：

x=（v-v0）=（eAt-1）（3）

通过对（3）求导得：A=（4）

由（4）可以看出，每通过单位位移，速度的增量相同，这里我们不妨把这样的运动称为“另类匀变速直线运动”，加速度：

A==±=（5）

而力F的冲量：

I=Fdt=kvdt=kx（6）

注：始终x为通过的位移。

根据以上的推导，我们可以将相关结论总结如表1：

表1  “另类匀变速”直线运动各量及关系

2    相关应用

2.1    “另类匀变速”直线运动（合力F=±kx）

1）作直线运动的质点，如果受到的合外力与其速度（动量）成正比，则质点做“另类匀变速”直线运动。

2）“另类匀变速”直线运动的“加速度A”为一恒量，其大小等于质点任意时刻所受的合外力与质点该时刻的动量之比，方向与合外力的方向相同，而其定义式为A=。

3）“另类匀变速”直线运动的质点所受的合外力是一个变力，质点的运动是加速度时刻变化的变速直线运动。a=Av，如果A>0，速度不断增大，所以a也不断增大;如果A<0，速度不断减小，所以a也不断减小。

4）“另类匀变速”直线运动的质点所受的合外力与位移是线性关系F=mA2x+mAv0，可用F-x图像求该合力的功（也可由关于位移的平均力求功）。

5）“另类匀变速”直线运动位移中点的速度为vs/2=，时间中点的速度为vt/2=，由速度v0变为速度vt经历的时间为t=ln（）。

例1  历史上有些科学家曾把在相等位移内速度变化相等的单向直线运动称为“匀变速直线运动”（现称“另类匀变速直线运动”），“另类加速度”定义为A=，其中v0和vt分别表示某段位移s内的初速度和末速度。A>0表示物体做加速运动，A<0表示物体做减速运动。而现在物理学中加速度的定义式为a=，下列说法正确的是（     ）

A.若A不变，则a也不变

B.若A>0且保持不变，则a逐渐变大

C.若A不变，则物体在中间位置处的速度为

D.若A不变，则物体在中间位置处的速度为

解析  由上面的结论a=Av可知，A不变，a是变化的，所以A选项错。因为A大于零时，速度v增大，所以加速度a也增大，所以B选项正确。而速度随位移均匀增大（或减小），所以C选项正确，而D选项错误。本题的正确答案为：B、C选项。

例2  如图1所示，MN、PQ是位于同一水平面上、相互平行、足够长的光滑金属导轨，两导轨相距为L，电阻不计，其左端用导线连接一个阻值为R的定值电阻，将一个质量为m，电阻为r的金属棒垂直于导轨放置，整个装置处在垂直于导轨平面、范围足够大的匀强磁场中，磁感强度的大小为B，现给导体棒一个沿轨道方向向右的水平初速度，且导轨棒沿导轨运动过程中始终保持与导轨垂直，且接触良好。

图1  均匀磁场中的光滑金属导轨

（1）分析导体棒的运动是否为“另类”匀变速直线运动，如果是，求出“加速度”A的大小。

（2） 求导体棒在整个过程中的位移s大小。

（3） 求导体棒位移为时，导体棒的速度大小和运动的时间。

解析  （1）设时刻t导体棒运动的速度为vt，此时导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为E=BLvt。

回路中的感应电流为 I=。

由安培力计算公式可知，此时导体棒受到的安培力（即合外力）为 Ft=BIL。

由上面三个式子可得Ft==vt ，即与速度成正比，所以是“另类匀减速直线运动”，加速度A=-。

（2）由“另类”运动“加速度”的定义式可得到导体棒的位移为s=。

当vt=0时，导体棒达到最大位移，其最大位移为s=。

将上小题结果代入上式得 s=。

（3）当导体棒位移为时，由A=可得vt=v0+As。

将上两小题结果代入上式得 vt=v0。

设导体棒速度由v0减小到v0的过程所用的时间为t，由“另类”运动的速度公式可得vt=v0eAt 可得v0 =v0eAt。

将上式两边约去v0，取自然对数得-ln2=At。

将（1）小题结果代入上式得t=。

例3  如图2所示，MN与PQ是放在水平面上的光滑的足够长的金属导轨，相距为L=1 m，MP端接有一个电阻，阻值R=1 Ω，垂直导轨平面的匀强磁场为B=1 T，质量为m=1 kg的金属杆ab横放在导轨上且始终垂直导轨并接触良好。不计其他一切电阻，杆在水平向右的拉力作用下向右运动，测得流过金属杆ab的电流与位移的关系如图3所示，试：

图2  匀强磁场中的金属导轨        图3  A-x曲线

（1）证明导体杆做“另类匀加速”直线运动，并求出杆的初速度和“另类加速度”A;

（2）求杆从初始位置移动1 m的过程中拉力F的功及电阻上产生的热量;

（3）杆从初始位置移动1 m经历的时间。

解析  （1）由图像可知，电流与位移的关系为：I=I0+kx  （I0=1 A，k=1 A/m）

由欧姆定律得：I=，所以由以上两式可得：v=+x，代入数据得：v=1+x（m/s），所以是“另类匀加速”直线运动，与“另类匀变速”直线运动的速度公式v=v0+Ax对比可知：

初速度v0=1m/s，“另类加速度”A=1/s。

（2）安培力（阻力）f=，代入数据得：f=v（N）。

而F-f=ma，而a=Av，所以F=mAv+f，代入数据和关系可得：F=2+2x（N）。

所以F与位移x成线性关系，运动1 m的平均力为F= N=3 N，可得：

W=Fx=3 J。

由I=得电流I=2 A时，速度v=2 m/s，根据功能关系W-Q=mv2-mv，可得：

Q=1.5 J。

（3）初始速度v0=1 m/s，运动1 m时的速度为v=2 m/s，由前面的结论可得：

t=ln（）=ln2 s≈0.693 s。

2.2    合力不等于±kv

一个物体所受的合力并不等于±kv，但其中某个力f=±kv，此时物体并不做“另类匀变速”直线运动，所以位移、速度、加速度A不满足前面所列的关系，但力f的冲量依然满足关系I=±kv。

例4  一个小球以速度v0的大小竖直上抛，落回原处的速度大小为v，如果所受空气的阻力与速度成正比，那么从抛出到落回的时间为多少？

解析  设所用的时间为t，整个运动过程中阻力f的冲量为If=kx=0（位移x为零），而重力的冲量为IG=mgt，所以有IG-If=mv-m（-v0），即：t=。

例5  质量为m的物体从足够高处由静止开始竖直下落，所受空气阻力与速度成正比，其运动的速度时间图像如图4所示，图中t0时刻前速度已达最大速度vm，试求：

图4  下落质点的v-t图

（1）到t0时，物体下落的高度是多少？

（2）从开始下落到t0时刻，克服阻力做了多少功？

解析  （1）到t0时刻，阻力的冲量为-kh，根据动量定理有：

mgt0-kh=mvm。

所以有：h=。

因为mg=kvm，所以h=vmt0-。

（2）根据动能定理：mgh-Wf=mv，得：

Wf=mgvmt0-mv。

参考文献：

[1]赵凯华，罗蔚英.力学[M].北京：高等教育出版社，1995.

（栏目编辑  罗琬华）