“乘法分配律”教学探究

刘慧莹

“乘法分配律”是人教版数学四年级下册教学中的重点，也是一个难点。教学的感受是：新课教学时，学生学习比较顺利，到综合练习阶段，学生对乘法分配律的认识就变得模糊，经常和乘法结合律混淆，有的简便计算题学生不知道运用乘法分配律，无从下手，以至于有的学生认为简便计算越学越难，还不如列竖式计算方便快捷。练习中，学生出现的问题集中表现为：

第一，几种运算定律混淆。

主要是乘法分配律和乘法结合律混淆。

典型错误如：

32×25        8×25×4×125

=（4×8）×25      =（8×125）+（25×4）

=4×25+8×25      =1000+100

=100+200       =1100

=300

第二，不理解运算意义。

典型错误如：

101×23

=（100+1）×23

=100×23+1

=2300+1

=2301

第三，不会运用乘法分配律。

典型问题是遇到诸如99×15、99×15+15这类题分不清怎样做，束手无策。

在乘法分配律的练习中，教师费尽心思，讲尽各种题型，但学生作业中的错误还是屡屡出现。为什么会让教看似简单的知识“越教越难”，为什么学生对乘法分配律的学习总是镜中花、水中月，不得其要领呢？这是由于教师在教学乘法分配律时只注重了表面形式的认识，学生在学习新知识时单纯依靠模仿和记忆，对乘法分配律算式形式结构是机械记忆，这就是典型的对数学探究学习理解的偏颇和不到位。

教学“乘法分配律”时，可以从以下几方面引导学生进行有效探究，提高学生学习的有效性。

一、提供有探究意义的学习材料

数学探究学习的过程是一个复杂的过程，是不断经历猜想、验证、思辨的过程，探究性学习材料是学生进行有效探究的前提和基础。

以往的教学从一道题目入手（如，一套运动服上衣要120元，裤子80元，买这样的3套服装应付多少钱？）引导学生用两种方法解决（120+80）×3和120×3+80×3，进而观察、举例、总结、应用。这样单纯的教学素材缺少了对内在运算意义的引导，忽视了乘法分配律和结合律的内在联系和比较，使得学生的注意力容易指向算式的形式结构变化，而表现形式的简单记忆就犹如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干扰就立刻散架，甚至无法复原。为此，教师可把学习材料重新安排：

1.引入。

商店进来橡皮2箱，每箱4盒，每盒有25块，一共有多少块？

（1）学生列式计算：2×4×25或2×（4×25）。

（2）运用了什么运算定律？

（3）乘法结合律中，什么变了？什么没变？

（4）括号中的乘号能不能变成加号？为什么？

引导学生明白“2”表示“2箱”，“4”表示“4盒”， “25”表示“每箱25块”，单位不同，不能相加。乘法结合律中的乘号不能变成加号。

2.展开。

商店原有2盒橡皮，每盒25块。现在又进来4盒同样的橡皮，现在一共有多少块？

（1）学生列式计算：25×（2+4）或25×2+25×4。

（2）“2”表示什么？“4”表示什么？25×（2+4）这个算式中加号能否改成乘号？为什么？

引导学生明白“2”表示“2盒”，“4”表示“4盒”，单位相同，可以相加。“2+4”表示一共有6盒橡皮。这里的加号不能变成乘号。

小结：2×4和2+4虽然只是一个小小的运算符号不同，代表的是2和4之间完全不同的两种关系。“2×4”表示“2个4盒，2箱一共8盒”，“2+4”表示“2盒加上4盒，一共有6盒”。

（3）如果25×（2+4）去掉括号——25×2+4，发生了什么变化？结合每个数表示的意义和数与数之间的关系进行解释。

小结：要正确解答这道题，括号不能去掉。

3.进一步讨论。

（1）（2+4）×25要去掉括号应该写成什么？写一写并解释为什么。

（2）同样是去掉括号，为什么（2+4）×25=25×2+25×4中“25”出现了两次，而2×（4×25）=2×4×25中“25”只出现了一次？

（3）比较2×4×25和（2+4）×25，每个数表示的意义是什么？2×4和2+4表示的意义相同吗？

4.归纳总结。

（1）（2+4）×25=25×2+25×4 前后算式中什么变了？什么没变？为什么可以这样变？

（2）用自己的话说说算式的特点，再用自己喜欢的符号表示出来。

（3）揭示概念：这个运算定律叫做“乘法分配律”。

（4）阅读教材上的相关知识。

5.练习。

（1）在横线上填上适当的运算符号或数。

46×77+46×23 =（___+___）×___

（77___23）×46=77×（23×46）

讨论：为什么这样想？能用实际事例说明吗？

（2）观察：这堂课上出现的几组算式，前后对比，怎样计算更简便？

2×（4×25）=2×4×25

（2+4）×25=25×2+25×4

46×77+46×23=（77+23）×46

（77×23）×46=77×（23×46）

两组探究材料的设计，注重了数学材料内在的层次性和逻辑性，由学生已经掌握的乘法结合律的特点和内在意义引出乘法分配律，将两种运算定律结合具体事例进行了解释和反复对比，最后从形式结构上比较。比起以往的教学来说，并没有过多地强调外在形式的简单记忆，在教学的各个环节，无论算式的外在形式怎样变化，学生的思维始终围绕运算意义的理解展开。在解释交流的过程中，随着两个定律的非本质属性被不断剔除，其本质属性得以凸现，而算式外在形式的变化特点在意义解释过程中自然而然地被纳入学生的认知结构中。

二、设计有效的探究学习过程

当探究材料具有内在的逻辑性和结构性的时候，教师怎样利用这些材料进行有效的探究学习呢？所谓有效，就是指学生在探究学习的过程中，能够自主探索、积极思考，利用探究材料，探索发现数学规律，能结合实际情境主动应用数学规律。因此，教学设计要注意以下两方面：

1.教师提问的针对性。

在上述材料的讨论和归纳阶段，几次反复提问，都一再强调运算符号的变化所产生的意义和结果，旨在引导学生从运算意义的角度追根溯源、深入思考，真正把握定律的内在实质。通过有意义、有深度的问题引导学生植根于定律的意义理解算式的结构特点。

2.注重学生的探究体验。

体验是置身特定情境下的感受，它一定是学生真切的、发自内心的感受。比如让学生思考：“2”表示什么？“4”表示什么？（2+4）×25这个算式中加号能否改成乘号？为什么？如果25×（2+4）去掉括号——25×2+4，发生了什么变化？结合每个数表示的意义和数与数之间的关系解释。这些环节的设计目的在于让学生体验乘法分配律的本质意义，尤其是“公因数25”的实际意义，突出了从模型建构的角度理解运算意义。

练习安排〔练习（1）在横线上填上适当的运算符号或数。讨论：为什么这样想？能用实际事例来说明吗？〕从现实生活过渡到抽象模型，用实际事例来说明乘法分配律和乘法结合律，目的在于进一步让学生经历问题探究过程中理解数学情境的本质结构，培养学生的思维迁移能力。

没有亲身经历比较，学生关于乘法分配律的“简便”体验就无从而来。〔练习（2）观察：这堂课上出现的几组算式，前后对比，怎样计算更简便？〕学生只有经历了一般计算中的繁杂，才能体验简便计算的从容。

◇责任编辑：徐新亮◇