考虑涡流反作用的永磁体涡流损耗解析计算

唐任远　陈　萍　佟文明　韩雪岩

（沈阳工业大学国家稀土永磁电机工程技术研究中心　沈阳　110870）

考虑涡流反作用的永磁体涡流损耗解析计算

唐任远陈萍佟文明韩雪岩

（沈阳工业大学国家稀土永磁电机工程技术研究中心沈阳110870）

推导了一种新型表面式无金属护套永磁同步电机永磁体涡流损耗解析模型，该模型同时考虑涡流反作用、开槽引起的磁导谐波和涡流分布不均匀三种因素，可以计算任意定子电流波形的表面式无金属护套永磁同步电机的永磁体涡流损耗，并能分析任意次数时空谐波产生的永磁体涡流损耗。采用所推导的解析模型研究影响永磁体涡流损耗的因素，包括调制比、载波比和气隙长度。调制比和载波比的增加减小了电流时间谐波幅值二次方和，因此降低了永磁体涡流损耗；气隙长度的增加，由于削弱了谐波电枢反应而降低了永磁体涡流损耗。通过对电机的实验分析和有限元仿真，验证了解析计算的正确性和规律的适用性。

无金属护套的表面式永磁同步电机永磁体涡流损耗解析推导涡流反作用

0　引言

随着电力电子技术的速猛发展和器件价格的不断降低，变频电源越来越多地应用于交流电动机调速系统中［1］。但变频器的使用也引入了大量的电流时间谐波，影响永磁同步电机的损耗，而损耗是衡量电机效率的主要指标［2］。特别是永磁体涡流损耗，高频使得感生的涡流密度增加，再加上转子散热条件有限，很容易导致永磁同步电机转子温升过高，引起永磁体的过热退磁［3，4］。开关频率为4kHz的变频器，当谐波频率达到5倍开关频率时，对于钕铁硼永磁电机，永磁体的透入深度为4.2mm（NdFeB材料的电导率为694 400S/m，相对磁导率为1.046），与中小型永磁电机的永磁体厚度相当，涡流反作用明显，在计算永磁体涡流损耗时应考虑。

表面式永磁同步电机的转子有两种结构形式：一种是表面有一层金属护套的结构，一般超高速的永磁电机较多使用此结构形式；另一种是永磁体表面使用无纬玻璃丝捆绑的结构。Z. Q. Zhu教授对带金属护套的永磁体涡流损耗进行了研究［5-7］，其提出的子域模型充分考虑定子开槽作用，但忽略了涡流反作用。文献［8］虽考虑了涡流反作用，但忽略了开槽效应。对于无金属护套的永磁电机，文献［9，10］进行了永磁体涡流损耗的推导，但没有考虑定子开槽和涡流反作用。文献［11，12］提出了复杂磁导模型，但其模型基于复杂的保角变换关系，很难应用于损耗计算。文献［13］通过引入实心转子异步电机的端部系数来考虑永磁同步电机永磁体涡流损耗端部效应，但除了端部效应，还有很多因素导致涡流在永磁体上分布不均匀，致使2D方法计算永磁体涡流损耗不准确，而且该文并未进行实验验证，也没有考虑开槽和涡流反作用。

目前主要有三种方法验证永磁体涡流损耗：①通过损耗分离得到永磁体涡流损耗［14-16］；②通过自制实验装置测试永磁体涡流损耗［17，18］；③以温升测试间接验证永磁体涡流损耗［19，20］。

本文基于变频器供电的实际，推导同时考虑涡流反作用、开槽效应和涡流分布不均匀效应的永磁体涡流损耗解析计算模型，该模型最大的优点是能够计算任意定子电流波形和任意时空谐波产生的永磁体涡流损耗。基于该模型，对影响永磁体涡流损耗较大的因素（调制比、载波比和气隙长度）进行分析，并通过实验及有限元方法进行验证。

1　解析解推导

在进行永磁体涡流损耗解析解推导的过程中，本文作了如下假设：

（1）定子开槽导致的磁导谐波对磁场的影响通过一个良好的磁导模型进行考虑。

（2）在对涡流反应场进行推导的过程中，认为永磁体只在轴向方向有涡流，而涡流分布不均匀对永磁体涡流损耗的影响将通过引入系数加以考虑。

（3）使用定子槽口等效电流片代替定子绕组。

（4）永磁体均匀且各向同性，其磁导率μm和电导率σm均为常数。

1.1物理模型

本文对无金属护套结构的表面式永磁同步电机永磁体涡流损耗解析推导使用的模型如图1所示。在极坐标系下，rr、rm和rs分别代表转子外径、永磁体外表面半径和定子内径；永磁体为rr～rm之间的 θ1～θ2的范围；定子电流片均布在定子表面；转子以ωr的角速度旋转。

图1　物理模型Fig.1　Physical model

1.2理论分析

1.2.1等效电流片的讨论

参照文献［21］，对等效电流片进行进一步推导。设三相绕组对称，则三相电流为

式中Ik——k次电流时间谐波的幅值；

p——电机极对数；

t——时间。

三相绕组电流片线电流密度的表达式为

式中W——每相串联匝数，W=Ns1Z1/（2ma）；

Ns1——每槽导体数；

Z1——电机定子槽数；

m——电机相数；

a——并联支路数；

ν——磁场空间谐波次数；

ksov——槽口系数（具体计算参照文献［1］）；

kwv——绕组系数（具体计算参照文献［1］）；

θ——静止坐标系下的周向角度。

令Jkν=3WIkksovkwv/（πrs），则三相合成电流片线电流密度表达式为

即

下文对式（4）进行讨论。

（1）|k+ν|=3h，|k-ν|≠3h。满足该条件的电流时间谐波k和磁场空间谐波次数ν 为：①当k=3h1+1时，ν=3h2+2；②当k=3h1+2时，ν=3h2+1。式中，h1=0，1，2，3，…；h2=0，±1，±2，±3，…。该类谐波的旋转方向与基波旋转方向相反。

（2）|k+ν|≠3h，|k-ν|=3h。满足该条件的电流时间谐波次数k和磁场空间谐波次数ν 为：①当k=3h1+1时，ν=3h2+1；②当k=3h1+2时，ν=3h2+2。该类谐波的旋转方向与基波旋转方向相同。

（3）|k+ν |=3h，|k-ν|=3h。满足该条件的电流时间谐波k和磁场空间谐波次数ν 为：①当k ≠ 3h1时，ν= 3h2；②当k= 3h1时，ν ≠ 3h2。该类谐波引起的电流片谐波合成分量为0，即这类谐波不会产生永磁体涡流损耗。

考虑到定子电流的初始相位φ，代表定子绕组的等效电流片线电流密度的式（3）和式（4）可简化为［21］

式中Jkν——等效电流片线电流密度的k次电流时间谐波、ν 次磁场空间谐波幅值；

α——旋转坐标系下的周向角度。

α=0代表A相绕组轴线位置，静止坐标系和旋转坐标系的关系为α=θ +ωrt。这样，对于式（5）：当满足条件（1）时，ν 取正值，Jkν=3WIkksovkwv/（πrs）；当满足条件（2）时，ν 取负值，Jkν=-3WIkksovkwv/（πrs）；当满足条件（3）时，Jkν=0。

1.2.2考虑涡流反应场的求解方程

1）气隙中

极坐标系下，气隙中的时变电磁场以矢量磁位AI（AI是rθ 平面上的量）的形式，由拉普拉斯方程表示

由于使用等效电流片，则式（6）的通解可写成

式中，A、B为常数。

气隙中磁通密度的径向和切向分量分别为

2）永磁体中

由于存在涡流反应场，直接从永磁体出发来分析永磁体磁场并不准确。本文通过求解扩散方程，考虑趋肤深度，得出永磁体中的涡流密度JzⅡ（仅存在于z方向，这属于电场的范畴）。通过Maxwell方程联系电场和磁场，进而得出考虑涡流反作用的永磁体磁场。

式中δν——趋肤深度；

μ0——空气磁导率，
μ0=4π×10-7H/m；
μm——永磁体磁导率；
σm——永磁体电导率。
式（10）的通解为

式中Jν（τνr）——ν次的一类Bessel函数；
Yν（τνr）——ν次的二类Bessel函数；

C，D——常数。

通过使用Maxwell等式联系电场E和磁场B。

由式（12），将电场EⅡ用永磁体中的涡流密度JzⅡ表示，可得

将式（11）代入式（13），则永磁体中的磁通密度径向分量和磁场切向分量可表示为

1.2.3边界条件

1.2.4场方程求解

将式（5）、式（9）和式（14）代入式（15）～式（18），得

1.2.5考虑开槽对各场量进行修正

通过对文献［22-24］的分析，整理出一个能综合考虑各次磁导谐波的磁导模型，通过该磁导模型对各场量进行修正，得到更加准确的各场量数值。

式中kδ——气隙因数；

l1——磁导谐波次数。
对各场量进行修正［25］，得

1.2.6涡流分布不均匀的考虑

文献［26］理论分析了2D和3D永磁体涡流损耗模型，得到3D情况下考虑涡流分布不均匀的永磁体涡流损耗系数F为

式中L——永磁体的长度；

W1——永磁体的宽度；

P3D——文献［26］中3D永磁体涡流损耗解析解；

P2D——文献［26］中2D永磁体涡流损耗解析解。

1.2.7永磁体涡流损耗的解析解

使用Poynting矢量方法计算永磁体内的涡流损耗。其表达式为

因此，在一个电周期T=2π/（pωr）内，平均每块永磁体涡流损耗为

式中δ——气隙长度。

2　各次时空谐波产生的永磁体涡流损耗

本文通过Matlab软件编程对永磁体涡流损耗进行解析计算。

以一台8极36槽，频率为100Hz的6.5kW永磁同步电机为例，对各次谐波产生的永磁体涡流损耗进行分析。取一个周期电流进行谐波分析，如图2所示。

图2　PWM电流波形的谐波分析Fig.2　Harmonic analysis of PWM current waveform

将分析得到的各次电流时间谐波幅值代入永磁体涡流损耗解析式中，以前13次电流时间谐波产生的前13次磁场空间谐波导致的永磁体涡流损耗为例，说明时空谐波产生的永磁体涡流损耗的规律，如图3所示。

图3　前13次时空谐波产生的永磁体涡流损耗Fig.3　Eddy current loss caused by time and spatial harmonics of fromt 13 times

图3中时空谐波产生的永磁体涡流损耗较大的有：（1，2）（即基波电流时间谐波产生的2次磁场空间谐波，前面的数字代表电流时间谐波，后面的数字代表磁场空间谐波，下同）、（1，8）、（1，10）和（7，1）。1次电流时间谐波1次磁场空间谐波为基波，基波与转子以相同的转速旋转，因此并不产生永磁体涡流损耗。且对于时空谐波次数满足|k+ν|=0的谐波都与转子同步速旋转，均不感生永磁体涡流损耗。同时，当电流时间或磁场空间谐波次数为3的倍数时，这些谐波也不产生永磁体涡流损耗。

3　实验

本文以该6.5kW永磁同步电机为例，对其进行附加谐波损耗实验。实验原理如图4所示。实验步骤如下：

图4　附加谐波损耗实验原理Fig.4　Schematic diagram of additional harmonic losses test

（1）闭合开关2和开关3，进行温升实验。

（2）待被试电机温升稳定之后，断开开关3，断开被试电机与直流电机2的连接，进行永磁电机的变频器供电空载实验。

（3）断开开关2，闭合开关4和开关1，进行正弦波电压供电空载实验。

变频器供电时，其电流时间谐波引起的损耗增量即为附加谐波损耗，又称谐波损耗。IEC标准认为，空载与负载时附加谐波损耗的数值不变。本文通过变频器供电空载实验和正弦波电压供电空载实验即可得到附加谐波损耗，即

式中Pbht——附加谐波损耗的测试值；

P01PWM——变频器供电空载输入功率；

P01——正弦波电压供电空载输入功率；

PCuPWM——变频器供电时铜耗；

PCu1——正弦波电压供电时铜耗。

附加谐波损耗包括变频器供电时的电流时间谐波在绕组、定转子铁心、周围结构件和永磁体中产生的损耗。由于6.5kW额定频率为200Hz，电流时间谐波在其绕组和周围结构件中引起的附加谐波损耗非常小，本文忽略不计。因此，文中附加谐波损耗主要考虑电流时间谐波在定转子铁心和永磁体中的附加谐波损耗。

实际上，使用附加谐波损耗来验证永磁体涡流损耗只验证了电流时间谐波引起的永磁体涡流损耗（也称附加谐波永磁体涡流损耗），而基波电流时间谐波产生的磁场空间谐波引起的永磁体涡流损耗是无法通过附加谐波损耗实验来验证的。

表1列出了6.5kW永磁同步电机附加谐波损耗实验数据，通过表1可以得到6.5kW永磁同步电机的附加谐波损耗实测值为248.83W。

表1　附加谐波损耗实验数据Tab.1　The test data of additional harmonic losses

表2给出了附加谐波损耗的解析计算值、FEM计算值和实验值的对比。由于实验条件的限制，无法对电流时间谐波引起的铁耗和永磁体涡流损耗进行分离。因此，本文通过分别计算这两项并求和的方法得到附加谐波损耗计算值，同时将附加谐波损耗计算值与实验值加以对比。对于附加谐波永磁体涡流损耗的计算分别采用本文所推导的解析计算方法和3D有限元方法，而电流时间谐波引起的铁耗则只用有限元计算方法。需要说明的是，对于铁耗的有限元计算，为了考虑剪切加工的影响，本文对硅钢片的损耗曲线进行了修正。但由于并未考虑冲压等其他加工工艺对附加铁耗的影响，加上实验本身的误差，使得计算值小于实验值。

表2　附加谐波损耗计算值和实验值的对比Tab.2　The comparison between calculation data and test data of additional harmonic losses

4　影响因素

从产生因素角度，永磁体涡流损耗可分为：①由于定子铁心开槽导致的磁导谐波产生的永磁体涡流损耗；②定子绕组分布，基波电流导致的空间谐波磁场产生的永磁体涡流损耗；③定子电流时间谐波产生的永磁体涡流损耗。其中，定子电流时间谐波对永磁体涡流损耗的影响相当大。而调制比和载波比是影响电流时间谐波的重要因素。气隙长度的改变通过电枢反应磁动势的大小来影响永磁体涡流损耗，这种影响主要反映在磁场空间谐波引起的永磁体涡流损耗的变化上。这些因素的研究对永磁体涡流损耗的研究非常重要。

本文通过使用实测的电机输入波形，使用本文的解析计算方法与有限元法分别进行计算，研究时间谐波产生的永磁体涡流损耗随调制比和载波比的变化关系，并最终与实验数据进行对比。

选取一台6.9kW永磁同步电机做不同调制比与载波比下的附加谐波损耗实验，实验原理与图4相似，但需要在ABB变频器前加一个接触调压器。需要注意的是，该附加谐波损耗实验并非是在温升实验的基础上进行的，而是保持电机冷态，先做调制比实验，再做载波比实验。该电机的基波频率为200Hz，8极36槽，气隙长度为2mm。

假设铁耗的FEM计算准确，则认为以下电流时间谐波引起的永磁体涡流损耗的实验值是附加谐波损耗减去电流时间谐波引起的铁耗的FEM计算值。

4.1调制比的影响

调制比为变频器输出线电压基波幅值与直流母线电压之比。保持开关频率4kHz，即保持载波比为20，调节直流母线电压，分别使调制比为0.55、0.60、0.65、0.70和0.75，记录每个调制比下的输入电流波形并进行谐波分析，计算前50次电流时间谐波产生的永磁体涡流损耗。不同调制比下电流时间谐波幅值的二次方和见表3。

表3　不同调制比时的电流时间谐波幅值二次方和Tab.3　Sum of squares of current time harmonics magnitudes in different modulation index

附加谐波永磁体涡流损耗随不同调制比的电流时间谐波幅值二次方和的变化关系如图5所示。可见，随着调制比的增加，电流时间谐波幅值二次方和减小，电流时间谐波引起的永磁体涡流损耗也随着减小，这就是调制比增加导致永磁体涡流损耗减小的原因。附加谐波永磁体涡流损耗的FEM和实验结果趋势基本相同，而解析方法得到的附加谐波永磁体涡流损耗随电流时间谐波幅值二次方和基本呈线性关系，其拟合公式为

式中PPMbh——电流时间谐波引起的永磁体涡流损耗。

图5　附加谐波永磁体涡流损耗随不同调制比的电流时间谐波幅值二次方和的变化Fig.5　The variation of additional harmonics PM eddy current loss vs. sum of squares of current time harmonics magnitudes in different modulation index

4.2载波比的影响

载波比为供电变频器载波频率与电机基波频率的比值。保持直流母线电压598V，改变变频器的开关频率分别为1kHz、2kHz、3kHz、4kHz、8kHz和16kHz，即载波比分别为5、10、15、20、40和80，记录每个载波比下的输入电流波形并进行谐波分析，计算前50次电流时间谐波产生的永磁体涡流损耗。不同载波比下电流时间谐波幅值的二次方和见表4。附加谐波永磁体涡流损耗随不同载波比的电流时间谐波幅值二次方和的变化关系如图6所示。

可见，随着载波比的增加，电流时间谐波幅值二次方和减小，电流时间谐波引起的永磁体涡流损耗也随着减小，这就是载波比增加导致永磁体涡流损耗减小的原因。FEM计算结果和实验结果趋势基本相同。

解析方法计算得到的附加谐波永磁体涡流损耗呈两种趋势：在电流时间谐波幅值二次方和很小时，附加谐波永磁体涡流损耗的解析解比实验值和FEM计算值小；在电流时间谐波幅值二次方和很大时，解析解则比实验值和FEM计算值大。这是因为本文的解析方法计算永磁体涡流损耗是从定子侧电流出发的，忽略了很多电机非线性关系的影响，因此，定子电流时间谐波对解析解的影响大一些。

从图5和图6可以看出，附加谐波永磁体涡流损耗和电流时间谐波幅值二次方和关系密切，由于改变调制比只是成比例地改变每次输入电流时间谐波的幅值，因此，随调制比的减小，电流时间谐波幅值二次方和呈线性增加，由式（36）可知，电流时间谐波引起的永磁体涡流损耗也线性增加。

而随载波比的减小，各次电流时间谐波幅值并非呈比例增加，其值有大有小，因此，电流时间谐波幅值二次方和与附加谐波永磁体涡流损耗并非线性关系。

在永磁体涡流损耗的抑制技术中，增加调制比和载波比固然能降低永磁体涡流损耗，但这需要在特定的环境下才可行。而且增加载波比会严重增加变频器的功率损耗，而调制比的调节范围也是有限的。因此，应根据电机工作的实际情况合理选择调制比和载波比。

表4　不同载波比时的电流时间谐波幅值二次方和Tab.4　Sum of squares of current time harmonics magnitudes in different frequency-carrier ratio

图6　附加谐波永磁体涡流损耗随不同载波比时的电流时间谐波幅值二次方和的变化Fig.6　The variation of additional harmonics PM eddy current loss vs. sum of squares of current time harmonics magnitudes in different frequency-carrier ratio

4.3气隙长度的影响

改变气隙长度，永磁体磁化方向长度也随之变化，气隙越长，永磁体磁化方向长度越大，永磁体用量越多。本文以一台2.1kW永磁同步电机为例，进行解析计算和有限元分析。该电机的有限元三维剖分图如图7所示。该电机8极36槽，额定频率为266.7Hz，额定转速为4 000r/min。采用ABB通用变频器供电，其开关频率为4kHz。

图7　2.1kW永磁同步电机剖分图Fig.7　Grid map of 2.1kW PMSM

本文对1.0mm、1.25mm、1.5mm、1.75mm和2.0mm五种气隙长度下的永磁体涡流损耗进行解析计算和有限元分析。保证该2.1kW永磁同步电机的空载反电动势大小基本不变，得到的永磁体涡流损耗随气隙长度的变化关系如图8所示。由图8可见，解析计算和FEM计算结果趋势相同，其数值稍有偏差。则根据FEM计算结果可知永磁体涡流损耗PPM随气隙长度的变化关系拟合式为

图8　永磁体涡流损耗随气隙长度的变化趋势Fig.8　The variation trend of PM eddy current loss vs. different air gap lengths

由式（39）可知，改变气隙长度，不仅改变了基波产生的磁场空间谐波所引起的永磁体涡流损耗，同时也改变了电流时间谐波产生的磁场空间谐波所导致的永磁体涡流损耗。而气隙长度变大导致的永磁体涡流损耗减小主要是由于基波电流时间谐波产生的磁场空间谐波的变化。

如图9所示，不改变电机的输入电流，则基波和各次电流时间谐波的幅值不发生改变。对不同气隙长度下前25次磁场空间谐波所引起的永磁体涡流损耗进行分析，可以看出，随着气隙长度的增大，永磁体涡流损耗总体变小，但增加了永磁体的用量。气隙长度的增加，对基波磁场空间谐波与2次磁场空间谐波以及每个3h3+1和3h3-1次磁场空间谐波导致的永磁体涡流损耗都有所减小（h3=1，2，3，…），但是减小的幅度不同，基波磁场空间谐波与2次、8次磁场空间谐波产生的永磁体涡流损耗减小的幅度较大。

图9　不同气隙长度对基波电流时间谐波导致的磁场空间谐波产生的永磁体涡流损耗的影响Fig.9　The influence of different air gap lengths vs. eddy current loss due to magnetic spatial harmonics caused by fundamental current time harmonic

5　结论

本文从理论上推导出一种新型表面式无金属护套型永磁同步电机永磁体涡流损耗解析模型，该模型考虑涡流反应场、开槽导致的磁导谐波和永磁体上感生涡流的分布不均匀效应，其最大优点在于能够对各次时空谐波产生的永磁体涡流损耗进行解析计算。对影响永磁体涡流损耗的因素进行了分析：

（1）对严重影响电流时间谐波的调制比和载波比进行了分析，得出永磁体涡流损耗随调制比和载波比增加而减小的主要原因是电流时间谐波幅值二次方和的减小。其中，调制比的增加导致电流时间谐波幅值二次方和的减小，其所引起的永磁体涡流损耗的减小是成比例的，本文的解析推导验证了这一关系。

（2）增加气隙长度，主要减小了基波电流时间谐波产生的永磁体涡流损耗。且对基波电流时间谐波产生的各次磁场空间谐波引起的永磁体涡流损耗都有所减小，特别是1次、2次和8次空间谐波。通过实验与有限元方法的验证了本文解析计算方法的精确性和规律的适用性。

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Analytical Calculation of Eddy Current Loss Accounting for Eddy Current Reaction

Tang RenyuanChen PingTong WenmingHan Xueyan

（National Engineering Research Center for Rare Earth Permanent Magnet Machines
Shenyang University of TechnologyShenyang110870China）

This paper deduces a novel analytical model of permanent magnet （PM） eddy current loss for surface mounted permanent magnet synchronous motor （PMSM） without metal shell，accounting for eddy current reaction，permeance harmonics due to slot and the unevenness of eddy current. This model can calculate eddy current loss with any stator current waveform in surface mounted PMSM without metal shell and can analyze PM eddy current loss caused by any time and spatial harmonics. By using this analytical model，the factors that affect PM eddy current loss are studied，including modulation index，frequency-carrier ratio and air gap length. With increasing the modulation index and frequency-carrier ratio，the sum of squared current time harmonics magnitudes decreases，and accordingly the PM eddy current loss decreases. The increase of air gap length wakens the harmonics armature reaction which decreases the PM eddy current loss. The calculated results and analysis are verified by tests and finite element method （FEM）.

Surface mounted permanent magnet synchronous motor without metal shell，permanent magnet eddy current loss，analytical derivation，eddy current reaction

TM351

唐任远男，1931年生，教授，中国工程院院士，研究方向为稀土永磁电机与计算电磁学。

陈萍女，1987年生，博士研究生，研究方向为稀土永磁电机损耗与温升计算。（通信作者）

国家科技支撑计划（2013BAE08B00），国家自然科学基金（51307111）和辽宁省教育厅科学技术研究项目（L2013049）资助。

2014-10-08改稿日期 2014-12-23