向量在解决高中数学问题中的运用

徐莹

摘要：向量是高中数学中广泛运用且实用性极强的知识，数与形结合的特点，使它成为高中数学课程中最重要的教学内容和解题手段，许多高中数学知识都可以通过向量有机地串联起来，形成一个统一的整体。基于此，本文从向量的含义和基本特点出发，着重分析了向量在高中数学解题中的实际运用。

关键词：向量   高中数学   运用

一、向量的含义和基本特点

向量于20世纪进入数学领域，但其在19世纪就已经被物理学家和数学家研究和运用。20世纪90年代，我国把向量的相关知识纳入高中数学，并成為高中数学的重点。在向量中，集合以V表示，V构成了向量的加法换算群。在V中，运算出向量的数量积，就可以表达向量的长度。在向量长度具有实际意义之后，（V，R）对向量相关的运算构成了线性范围。向量是数学建模的基础，也是代数的主要研究对象，所以向量可以解决很多数学难题。向量具备了形和数的特点，把数和形联系成一体，既可以表示物体的位置，又可以反映物体的面积、长度等基本性质。对于一些抽象化的问题，向量还可以把其具象化，形成直观的模型，便于解决问题。

二、向量在高中数学问题中的运用

1.向量在平面几何中的运用

向量的大小和方向可以反映相关线段或点之间的长度关系以及位置关系。根据不同的性质，向量还可以分为平行向量、共线向量和零向量等。在平面几何中，利用向量知识来解决相关问题，比运用几何知识解决问题更加方便。如通过把线段转化为向量，再利用向量的相关知识，学生就能轻松解决问题了。在平面几何问题中运用向量时，学生一定要对应清楚点和线之间的关系，否则会得出错误的结果。

2.向量在不等式证明中的运用

在证明条件不等或不等式时，学生经常需要通过一些技巧对不等式进行变形处理，否则很难证明。此时，假如学生运用向量知识进行变形处理，则会简化问题，容易证明结果。

举例来说，有一个等式（a2+b2）（m2+n2）=（am+bn）2，其中m、n不等于0，求证a/m=b/n。对于这个问题，只要学生细心观察等式，就能发现括号部分与向量的模以及数量积是一样的，所以可以设向量P=（a，b），向量Q=（m，n）。通过式子，可以看出P和Q是平行关系，再利用平行向量的特点，就可以得出an-bm=0，再进行变换，就可得出a/m=b/n的结果。所以，在不等式证明中，学生只要把相关数字转化为向量，就能把抽象的关系转化为具象的向量关系，从而轻松地得出结果。在不等式证明中运用向量时，学生一定要仔细观察不等式的基本特点，找出向量的切入点，再加以运用。

3.向量在解方程中的运用

方程解析在高中数学中是很常见的问题，对于某些方程而言，假如直接通过技巧变形很难解出方程，这时学生就可以考虑使用向量来解决问题。

4.向量在三角函数中的运用

三角函数是高中数学的重点和难点内容，也是高考的必考内容。学生可以通过向量数量积，把向量与三角函数有机结合起来，为三角函数相关问题提供便利的解决方法。

举例来说，已知cosa+cosb-cos（a+b）=3/2，求解a，b的值。根据三角函数公式，对原式进行变形，可以得到（1-cosb）cosa+sinasinb=3/2-cosb。仔细观察该式，学生就会发现其与向量数量积一致，于是设向量P=（1-cosb，sinb），向量Q=（cosa，sina），把两个向量相乘，可得PQ=3/2-cosb，|P||Q|=，再根据相应关系可得|3/2-cosb|≤，cosb=1/2，即∠b=600，再把它带入原式，可以得到∠a的值。在三角函数的问题中运用向量法，可以简化三角函数的变形步骤，具象三角函数之间的关系，把复杂的问题转化为简单的向量，大大提高解题的效率。

三、结束语

在高中数学中，向量具有极大的实用性，从平面几何到空间几何，从三角函数到方程不等式，都可以运用向量的相关知识来简化问题。因此，学生在学习过程中应当灵活运用向量，不断提高自身的学习效率和质量。

参考文献：

[1]朱音.例谈向量方法在高中数学解题中的应用[J].长三角：教育，2012，（7）.

[2]王晓.高中数学解题中向量方法的应用分析[J].高中数理化，2014，（12）.

[3]刘永斌.向量在高中数学解题中的应用[J].吉林教育，2010，（3）.

（作者单位：黑龙江省绥化市第一中学）