波形钢腹板混凝土组合梁挠度计算的初参数法*

李明鸿 万水 蒋正文 马磊

(1.东南大学 土木工程学院，江苏 南京210096;2.东南大学 交通学院，江苏 南京210096;3.华北水利水电大学 土木与交通学院，河南 郑州450045)

波形钢腹板混凝土组合箱梁是近年来在国内外桥梁工程中受到广泛关注的一种新型钢－混凝土组合结构，其主要技术革新是将传统混凝土箱梁的腹板替换为波形钢腹板.由于波形钢腹板具有自重轻、抗剪强度高、轴向刚度小等特点，采用波形钢腹板代替混凝土腹板可大幅度减轻传统预应力混凝土箱梁的自重，提高预应力施加效率，并且避免了传统混凝土箱梁腹板的斜向开裂问题，提高了结构的耐久性［1-2］.

在传统混凝土箱梁的挠度计算中，当跨高比小于1/12 时，可以忽略剪切变形的影响，采用经典梁理论就能得到足够精确的结果［3］. 在波形钢腹板混凝土组合梁中，尽管钢腹板的剪切模量约为混凝土腹板的6 倍，但由于波形钢腹板很薄，一般仅为10 ～20 mm，所以其抗剪刚度比传统混凝土腹板小很多，通常不到后者的10%［4］，因此剪切变形对波形钢腹板混凝土组合梁的挠度具有较大的影响. 试验和研究表明［5-8］:随着波形钢腹板混凝土组合梁跨高比的增加，剪切变形将导致组合梁挠度增大10% ～40%，采用经典梁理论计算组合梁的挠度时会产生较大的误差.李宏江等［5］在考虑波形钢腹板箱梁结构特点的同时结合初等梁理论推导了集中荷载作用下简支波形钢腹板箱梁的剪切挠度计算公式.Machimdamrong 等［9］提出了考虑弹性剪切变形的G3 理论，用于分析波形钢腹板混凝土组合梁的应力和挠度，但过程复杂且没有给出显式表达式.吴文清等［10］基于能量变分理论提出了“拟平截面法”计算波形钢腹板混凝土组合箱梁的弯曲正应变和变形.He 等［11］依据波形钢腹板组合梁的受力特点，提出了弹性剪切变形弯曲理论，对组合梁的变形进行分析，并建立了简支波形钢腹板梁跨中挠度的简化计算公式.刘保东、冀伟等［12-13］运用能量变分原理，分别研究了集中荷载和均布荷载作用下简支波形钢腹板箱梁剪力滞效应和波形钢腹板剪切变形对弯曲挠度的影响程度.聂建国等［14］通过引入波形钢腹板剪切变形的剪切转角函数，将波形钢腹板梁的弯曲行为分解为弯曲作用和桁架作用，建立了考虑剪切变形的波形钢腹板梁理论模型，推导了简支和悬臂波形钢腹板梁的变形解析解，并提出了考虑剪切变形的简支和悬臂波形钢腹板梁挠度的简化计算方法——有效刚度法.上述解析方法［11-14］可以求得理论上较为精确的解，但是需要求解微分方程，通常仅在简单边界条件及荷载条件下才能得到显式表达式.

本研究首先基于波形钢腹板混凝土组合梁的力学特性，推导考虑剪切变形影响的波形钢腹板混凝土组合梁的挠曲线初参数方程;然后通过波形钢腹板混凝土箱梁的静力试验，结合有限元方法验证理论方法的合理性及准确性;最后利用理论公式和有限元方法分析跨高比和宽高比对波形钢腹板混凝土组合箱梁剪切变形的影响.

1 波形钢腹板梁受力特性分析

1.1 弯曲刚度

由于波形钢腹板在纵向具有“风琴效应”，波形钢腹板的轴向弹性模量Ex通常只有钢材弹性模量Es的几百分之一甚至几千分之一，因此在波形钢腹板混凝土组合梁的抗弯设计中，可以忽略波形钢腹板的贡献，按下式计算弯曲刚度［15］:

式中，Ec为混凝土的弹性模量，Ic为仅考虑混凝土顶、底板的截面惯性矩.

1.2 剪应力公式

根据波形钢腹板的受力特性，将波形钢腹板混凝土组合梁的腹板转换为弹性模量为Ex的等效平板(见图1).从梁中取出一微段，如图2 所示，截取微段水平截面m—n 以上部分为分离体，在dx 长度上，剪应力 的变化可以忽略不计，于是，由微段水平方向的平衡条件可得

式中:b 为剪应力计算点处的横截面宽度;FN为横截面上剪应力计算点m 以上区域的水平合力，且

y1为剪应力计算点的位置，ht为剪应力计算点一侧截面边缘到截面中性轴的距离，σ(y)按式计算，b(y)为高度y 处的横截面宽度.

图1 箱梁截面简化计算图Fig.1 Simplified cross section geometry of box girder

图2 梁微段受力图Fig.2 Mechanical model of beam segment

波形钢腹板混凝土组合梁的弯曲正应变仍然符合“平截面假定”［10，16］，于是微段横截面上距中性轴y 处的纵向纤维的正应力σ(y)可按材料力学公式表达为

式中，M 为计算截面上的弯矩.

将式(4)代入式(3)可得

式中，bs为波形钢腹板的截面宽度，为剪应力计算点以上混凝土部分面积对截面中性轴的静矩，为剪应力计算点以上腹板部分面积对截面中性轴的静矩.

将式(5)代入式(2)并注意到dM/dx=V，可得

式中，V 为计算截面上的剪力.

对于图1 所示的截面，波形钢腹板(－hl+t2＜y ＜hu－t1)的剪应力计算公式可表述如下:

以中性轴以上腹板中剪应力最大差值max－min与最小剪应力min之间的相对差值为例，

通常情况下，中性轴以上腹板的截面面积与混凝土顶板的截面面积相比可以忽略，且波形钢腹板的纵向表观弹性模量Ex一般仅为混凝土弹性模量Ec的几百分之一，因此中性轴以上波形钢腹板中的剪应力差值可以忽略不计，同样可得中性轴以下波形钢腹板中的剪应力差值可以忽略不计，于是可以认为波形钢腹板截面上剪应力是均匀分布的. 根据式(6)，可将图1 所示截面上各部分的剪应力计算公式表述如下:

截面上混凝土顶板(或底板)中的最大剪应力与波形钢腹板的剪应力比值为

通常情况下，波形钢腹板宽度bs与混凝土顶板(或底板)宽度相比很小，混凝土顶、底板的剪应力相比波形钢腹板的剪应力可以忽略，认为截面上的剪力全部由波形钢腹板承担，并且可以忽略混凝土顶、底板的剪切变形.

1.3 剪切刚度

试验与分析结果表明，波形钢腹板的剪切刚度比钢板本身的剪切刚度略有降低，Johnson 等［17］建议波形钢腹板的有效剪切模量按下式计算:

式中，Gs为钢材的剪切模量，其余参数见图3.

图3 波形腹板几何参数Fig.3 Geometric parameters of corrugated web

2 波形钢腹板梁的挠曲线初参数方程

2.1 基本假定

根据波形钢腹板混凝土组合梁的上述力学特性，在推导过程中，作如下基本假定:

1)顶、底板和波形钢腹板材料均处于弹性范围;

2)仅考虑波形钢腹板的剪切刚度，忽略轴向刚度;

3)截面上的剪力全部由波形钢腹板承担，且剪应力沿高度方向均匀分布;

4)忽略顶、底板的剪力滞效应，顶、底板与波形钢腹板之间不发生滑移.

2.2 挠曲线初参数方程

在外荷载作用下，波形钢腹板混凝土组合梁距起始端距离x 处横截面上的弯矩和剪力分别为M(x)和V(x)，不考虑剪切变形影响时坐标x 处横截面的转角θ(x)，考虑剪切变形影响时坐标x 处横截面的挠度ν(x)、转角α(x).根据材料力学，各参变量之间存在如下的微分关系:

式中:Aw为截面上未埋入混凝土部分的波形钢腹板的面积;k 为剪应力沿截面分布不均匀而引入的改正系数，对于波形钢腹板，取k=1.0.

将式(13)的两边分别对x 取二阶导数，并结合式(14)、(15)，可得不考虑剪切变形影响时转角θ(x)的微分方程:

将上式依次进行积分，可得

进而由式(12)可得考虑剪切变形影响时挠度ν(x)的表达式:

将式(18)和(20)代入上式，可得

当以x =0 代入式(18)－(21)时，以x 为自变量在坐标原点的一系列定积分均等于零，于是可得以坐标原点处截面上的初参数表示的积分常数:

将式(23)中各项代入式(22)，即可得波形钢腹板梁挠曲线的初参数方程.将式(22)中含有EcIc/GeAw的各项略去，即为不考虑剪切变形影响时的挠曲线方程.应用式(23)并结合式(22)，很容易得到各种边界条件及荷载作用下波形钢腹板梁的挠曲线方程，其中式(23)的4个初参数中通常有两个是已知的，例如:1)铰支端，C2=0，C4=0;2)固定端，C3=0，C4=0;3)自由端，C1=0，C2=0.其余两个初参数则可根据另外的边界条件确定.

2.3 剪切变形修正

上述推导过程中假设截面上的剪力全部由波形钢腹板承担，实际上由于混凝土顶、底板不可避免地承担了一部分剪力，因此会高估波形钢腹板的剪切变形引起的挠度. 根据式(9)可以计算得到波形钢腹板承担的剪力比例φ 为

将式(22)中含有EcIc/GeAw的各项乘以式(24)对挠度进行修正，可以得到考虑剪切变形的波形钢腹板混凝土组合梁挠度的更为精确的解答.

2.4 一般边界和荷载条件的解析解

如图4(a)工况1 所示，波形钢腹板混凝土组合梁在任意位置作用一集中荷载，利用上述方法可求得其挠曲线方程为

对于图4(b)工况2 所示的波形钢腹板混凝土组合梁承受均布荷载的情况，利用上述方法很容易

图4 简支波形钢腹板混凝土组合梁Fig.4 Simply-supported concrete composite girder with corrugated steel webs

求得其挠曲线方程为

根据上述公式并结合叠加原理，可以计算简支波形钢腹板混凝土组合梁在任意位置承受多个集中荷载和均布荷载同时作用时的挠度，且计算公式简单明确.通过上述剪应力分析和挠曲线初参数方程的推导过程可以发现，基于波形钢腹板混凝土组合箱梁推导的挠度计算公式同样适用于T 形、工字形等其他截面形式.文中方法同样适用于连续梁的情况——首先根据支座位置挠度ν(x)=0 的边界条件求得多余支座反力，然后即可按基本结构进行求解.

3 理论验证

3.1 模型试验

为验证上述理论方法的准确性，在东南大学道桥实验室进行了1 根单箱双室波形钢腹板混凝土组合梁的静力试验，试验梁长5.2 m，计算跨径5 m，两端简支，其横断面尺寸如图5 所示.波形钢腹板几何参数:a1=a3=40 mm，a2=32 mm，d =24 mm，θ =36.9 °，t =3 mm.混凝土弹性模量为34.5 GPa，泊松比为0.167;波形钢腹板采用Q235A 钢材，弹性模量为206GPa，泊松比为0.3.利用反力架和500 kN 油压千斤顶在试验梁跨中进行单点加载，在跨中、四分点和支点处设置位移计测量加载过程中的挠度变化.荷载分五级加载，通过压力传感器控制试验加载吨位，实际各级荷载为10.1、19.8、30.4、40.5、49.7 kN.

图5 试验梁横断面尺寸(单位:mm)Fig.5 Sectional dimension of test girder(Unit:mm)

3.2 有限元模型

利用通用有限元程序ANSYS 建立试验梁的三维有限元数值模型，如图6 所示.

图6 试验梁有限元模型Fig.6 Finite element model of test girder

有限元模型的顶、底板及横隔板均采用实体单元Solid45 模拟，波形钢腹板采用壳单元Shell181 模拟.边界条件为:固定铰支承处约束节点3个方向的平动自由度，活动铰支承处约束X、Y 方向的平动自由度.荷载的施加根据千斤顶下方钢垫块的面积以面荷载的形式加载，各级荷载与试验加载大小相同.

3.3 结果分析

试验梁跨中荷载－挠度曲线的实测和计算结果如图7 所示.

图7 试验梁跨中荷载－挠度曲线Fig.7 Load-deflection curves of test girder in midspan

由图7 可见:试验梁实测的荷载－挠度曲线基本为线性变化，说明试验梁处于弹性阶段;试验实测结果与有限元计算结果基本一致，验证了文中有限元模型的准确性;采用经典梁理论计算试验梁的挠度具有明显的误差，已超出工程上可接受的10%的误差范围，表明剪切变形在该类梁的挠度计算中不可忽略，在设计中必须引起重视;采用文中理论方法计算的荷载－挠度曲线与实测结果和有限元结果吻合良好，验证了文中理论方法的合理性与准确性.

试验梁纵向挠度曲线的实测和计算结果如图8所示.由于试验梁处于弹性阶段，因此仅以试验荷载49.7 kN 进行分析，对其余工况分析可以得到相似的结果.

图8 表明，采用文中理论方法能够准确地计算得到波形钢腹板混凝土组合箱梁的纵向挠度曲线，采用经典梁理论计算该类梁的挠度则具有较大的误差.

图8 试验梁挠度曲线Fig.8 Deflection curves of test girder

上述试验和分析仅针对简支单箱双室波形钢腹板混凝土组合梁承受跨中集中荷载的情况，为进一步验证文中理论方法的准确性和适用性，对试验梁承受两点对称荷载和均布荷载的情况进行分析，同时选取已有文献报道的单箱单室波形钢腹板混凝土组合梁的试验结果进行比较分析，如表1 所示.表1中νe表示试验中实测的试验梁挠度;νfe表示采用有限元方法计算得到的试验梁挠度;νeb表示采用经典梁理论计算得到的试验梁挠度;νth表示采用文中理论方法计算得到的试验梁挠度.

表1 不同荷载情况下波形钢腹板混凝土组合梁挠度比较Table 1 Comparison of deflection results of concrete composite girder with corrugated steel webs in different load cases

表1 表明:剪切变形对波形钢腹板混凝土组合梁的挠度影响较大，考虑腹板剪切变形的波形钢腹板混凝土组合梁的挠度比不考虑剪切变形时增大了10% ～25%;采用文中理论方法计算得到的挠度值与有限元计算值吻合较好，数据离散性小.从表1 还可以看出，不同试验梁及荷载类型下剪切变形对波形钢腹板混凝土组合梁的挠度的影响程度不同，这与箱梁的几何尺寸有关，下节内容将对此进行分析.

4 参数分析

为了研究截面几何尺寸对波形钢腹板混凝土组合箱梁剪切变形的影响，对截面如图9 所示的简支箱梁进行分析，其基本几何尺寸参考文中试验梁:h=350 mm，b=700 mm，tf=50 mm，l =5 m，波形钢腹板几何尺寸与文中试验梁相同，改变跨径l 和翼缘宽度b 以分析跨高比h/l 和宽高比b/h 的影响，分析的参数取值范围为:h/l =0.035，0.050，0.070，0.100，0.140，0.200;b/h=1.0，1.5，2.0，3.0，4.0.

图9 箱梁截面几何参数Fig.9 Sectional geometry of box girder

4.1 跨高比

不同荷载情况下剪切变形对挠度的影响程度β与跨高比l/h 的关系如图10 所示，图中剪切变形影响程度β 为跨中挠度的有限元结果与经典梁理论结果的比值或跨中挠度的文中方法结果与经典梁理论结果的比值.

图10 不同荷载情况下剪切变形影响程度与跨高比的关系Fig.10 Relationship between influence of shear deformation and depth-to-span ratio in different load cases

由图10 可见:文中方法计算结果与有限元计算结果比较一致;跨高比l/h 对剪切变形具有较大的影响，剪切变形对挠度的影响程度随跨高比的增大而减小;当跨高比为20 时，剪切变形产生的挠度占总挠度的10%左右，因此建议以跨高比l/h =20 作为波形钢腹板混凝土组合梁挠度计算是否考虑剪切变形影响的界限.比较图10 中3 种荷载情况下剪切变形对挠度的影响程度可见，集中荷载作用下剪切变形对挠度的影响程度最大，均布荷载作用下剪切变形对挠度的影响程度最小，两点对称荷载作用下剪切变形对挠度的影响程度略大于均布荷载作用的情况.

4.2 宽高比

不同荷载情况下剪切变形对挠度的影响程度β与宽高比b/h 的关系如图11 所示.

图11 不同荷载情况下剪切变形影响程度与宽高比的关系Fig.11 Relationship between influence of shear deformation and aspect ratio in different load cases

由图11 可见:文中方法计算结果与有限元计算结果比较一致;宽高比b/h 对剪切变形具有较大的影响，剪切变形对挠度的影响程度随宽高比的增大呈线性增长趋势.比较3 种荷载情况下剪切变形对挠度的影响程度可见，集中荷载作用下剪切变形对挠度的影响程度最大，两点对称荷载与均布荷载作用下剪切变形对挠度的影响程度相差不大.

5 结论

(1)推导了波形钢腹板混凝土组合梁挠曲线的初参数方程，给出了组合梁在任意位置作用集中荷载或承受均布荷载时挠度的解析解，据此结合叠加原理可以计算组合梁在任意位置承受多个集中荷载和均布荷载同时作用时的挠度，且计算公式简单明确;文中方法同样适用于连续梁的情况.

(2)通过将波形钢腹板混凝土组合梁承受跨中集中荷载、两点对称荷载和均布荷载3 种典型荷载情况下文中方法的计算结果与试验实测值和有限元计算结果进行比较，验证了理论方法的准确性和适用性.比较结果表明，采用经典梁理论已经不能准确地计算该类梁的挠度，剪切变形在该类梁的挠度计算中不可忽略，在设计与施工中必须引起重视.

(3)剪切变形对挠度的影响程度随跨高比的增大而减小，随宽高比的增大线性增长，建议以跨高比l/h=20 作为波形钢腹板混凝土组合梁挠度计算是否需考虑剪切变形影响的界限.

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