排列、组合问题的破解之术

安荣

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）20-0052-02

排列、组合问题是高中数学中的重、难点之一，也是求解古典概型的基础，这一类问题不仅内容抽象、解法灵活，而且在解决过程中极易出现“重复”或“遗漏”等错误，所以我们在解决此类问题时要不断积累经验，总结解题规律，掌握解题技巧。

排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。

下面就逐一谈谈破解常见排列、组合模型的基本思路：

一、处理排列组合应用题的一般步骤为

①明确要完成的是一件什么事（审题）；

②有序还是无序；

③分步还是分类。

二、处理排列组合应用题的规律

两种思路：直接法，间接法。

两种途径：元素分析法，位置分析法。

三、常见的解题方法

1.特殊元素、特殊位置——优先法

对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑。

例1 将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i个数为ai（i=1，2…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

解析：由题意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

第一步，可以先排a1，a3，a5，只有5种方法；

第二步，再排a2，a4，a6，有A33种方法；

由乘法原理得，不同的排列方法有5A33=30（种）。

答案：30

2.相邻问题——捆绑法

把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。

例2 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）

A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种

解析：先将两位老人排在一起有A种排法，再将5名志愿者排在一起有A种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C种插入方法，由分步乘法计数原理可得，不同的排法有A·A·C=960（种）。

答案：B

3.不相邻问题——插空法

某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

例3 高三（1）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）

A.1800 B.3600 C.4320 D.5040

解析：先排4个音乐节目和1个曲艺节目有A种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有A种放法。所以两个舞蹈节目不相邻的排法共有A55·A26=3600（种）。

答案：B

4.至多至少问题——间接法

对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的种数。

例4 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种。（用数字作答）

解析：从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有CA种，故共有A35-C12A24=36（种）选法。

答案：36

5.多类元素组合——分类取出

当题目中元素较多，取出的情况也有多种时，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。

例5 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）。

解析：如果用两种颜色，则有C26种颜色可以选择，涂法有2种。如果用3种颜色涂色有C36种颜色可以选择，涂法有C13·C12（C12+1）=18（种）。所以，不同涂色种数为C26·2+C36·18=390（种）。

答案：390

6.排列、组合混合——先选后排

对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。

例6 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种。（用数字作答）。

解析：首先把5个班分成4组，即2，1，1，1，有种方法。然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有A种方法。由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有·A44=240（种）。

答案：240

总之，排列、组合问题，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用乘法原理、加法原理计算就可。说简单点吧，排列、组合却是同学们（包括很多学习很好的同学）最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路。

（责任编辑 刘 馨）