探讨微积分中证明方程有根的基本方法

李卫平

（南通师范高等专科学校 数理与信息技术系，江苏 如皋 226500）

探讨微积分中证明方程有根的基本方法

李卫平

（南通师范高等专科学校 数理与信息技术系，江苏 如皋 226500）

结合具体实例，在对根的存在定理及罗尔定理推广基础上，对证明方程有根的基本方法进行了研究，并对这类问题的特点、解题方法及步骤进行归纳总结.

微积分；证明方程有根；基本方法

0 引言

证明方程有根是高等数学研究中常见的课题，也是高等数学教学过程中的一个难点，一些文献[1-4]对此类问题进行了常识性推导证明，但从对根的存在定理及罗尔定理推广研究证明方程有根方法的研究并不多见.笔者将在对根的存在定理及罗尔定理推广基础上，结合具体实例对高等数学中证明方程有根的基本方法进行研究，并对这类问题的特点、解题方法及步骤进行归纳总结.

1 方程有根的证明方法及应用举例

方程有根的证明，在高等数学中常见的2个方法：一是利用根的存在定理证明；二是利用罗尔定理证明.具体选用哪个定理证明要视方程的特点而定.一般情况下，若方程中含有导数或已知条件中涉及到可导这个条件，则选择第2种方法，否则采用第1种方法.这两种方法解题的关键是辅助函数的构造，如何构造辅助函数是利用定理证明方程有根的难点.下面将结合具体实例进行分析.

1.1 运用根的存在定理证明方程有根

定理1（根的存在定理）[5]如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则至少存在1点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0.

结论表明，若方程f（x）=0中的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续且两个端点处的函数值异号，则该方程在开区间（a，b）内至少存在1个根ξ.这个结果，在确定1个方程的根时是十分有用的.

运用根的存在定理证明方程在某范围内存在实根的步骤：（1）构造辅助函数f（x）；（2）确定函数在相应闭区间上连续，并验证该函数满足根的存在定理的条件；（3）写出结论.

构造辅助函数f（x）的方法：若题中所给方程是f（x）=0的结构，则方程中的f（x）即为要研究的函数，否则通过移项使方程一端为零，另一端则可令为f（x）.

例1 证明方程x3+x-1=0在区间（0,1）内至少有1个根.

证明 令f（x）=x3+x-1，则显然f（x）在闭区间[0,1]上连续，且f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0.所以，由根的存在定理可知，至少存在一点ξ∈（0,1），使得f（ξ）=0，即方程x3+x-1=0在区间（0,1）内至少有1个根.

例2 证明方程x3+x=1至少有1个小于1的正根.

分析 方程x3+x=1可变形为x3+x-1=0，故令f（x）=x3+x-1.至少有1个小于1的正根，说明讨论的区间为[0,1].证明过程与例1类似，此处略.

此外，根的存在定理结论也表明曲线y=f（x）在区间（a，b）上至少与x轴有1个交点，从而该定理也可用来证明曲线与x轴有交点.

例 3 设函数 f（x）在（a，b）上连续，x1，x2∈（a，b），x1＜x2且 f（x1）≠f（x2），求证：∃ξ∈（a，b），使 f（ξ）=

注：当所构造的函数在给定的区间两端点处的符号同号或没办法判断正负时，我们可考虑缩小要讨论的区间，正如例3一样，要证明方程在区间（a，b）内有根，可证明该方程在区间（a，b）的子区间内有根.

1.2 运用罗尔定理证明方程有根

定理2（罗尔定理）[5]若函数满足

(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间（a，b）内可导；(3)在两端点处的函数值相等，即f（a）=f（b），则至少存在1点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

结论表明，若方程f′（x）=0中的函数f（x）满足罗尔定理中的3个条件，则该方程在开区间（a，b）内至少存在1个根ξ.这个结果可用于证明方程有根.此处的方程与根的存在定理中涉及到的方程区别就在于方程中一个含有导数一个不含有导数，这也是决定用两个定理中的哪个定理来证明的依据所在.

运用罗尔定理证明方程有根，关键是构造辅助函数f（x），一般可先对方程作等价变形，并使方程一端为零，将不为零的那一侧对应的函数的原函数令为f（x），然后验证f（x）满足罗尔定理的条件，最后下结论.此处，原函数一般可通过观察或求积分的方法找到.

例4 已知函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，求证：在（a，b）内至少存在一点ξ，使

例5 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，证明在（a，b）内存在一点ξ，使

故本题可构造辅助函数g（x）=（b-x）f（x）+f（a）x，容易验证g（x）满足罗尔定理的条件.

证明 令，g（x）=（b-x）f（x）+f（a）x因为函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，所以g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导.因为g（a）=（b-a）f（a）+f（a）a=bf（a），g（b）=（b-b）f（b）+f（a）b=f（a）b，所以g（a）=g（b）.由罗尔定理可知，在（a，b）内存在一点ξ，使得g′（ξ）=0.

而g′（x）=-f（x）+（b-x）f′（x）+f（a），所以

例6 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，f（a）=f（b）=0，求证：在（a，b）内存在一点ξ，使f′（ξ）= f（ξ）.

分析 该题可转化为证明方程f′（x）=f（x）在区间（a，b）内有根，将方程变形可得f′（x）-f（x）=0，但方程左侧的原函数仍不易找出，此时继续对方程变形，在方程两侧同时乘上e-x，原方程等价于e-xf′（x）-e-xf（x）= 0.而[e-xf（x）]′=e-xf′（x）-e-xf（x），故可构造辅助函数g（x）=e-xf（x），容易验证g（x）满足罗尔定理的条件.为了寻找原函数，在方程两侧同时乘上e-x或ex也是对方程作变形的1种常见方法.

2 根的存在定理及罗尔定理的推广

与根的存在定理的几何意义类似有如下的结论成立.

该定理的运用和根的存在定理的运用思路与方法均类似，区别在于已知条件中给定的区间的类型.若f（x）在闭区间[a，b]上连续，则可首选根的存在定理证明，也可用定理3证明；若函数f（x）在开区间（a，b）或半闭半开区间[a，b）（或（a，b]）上连续，则可推出函数f（x）在开区间（a，b）上连续，从而可运用定理3证明.总之，能用根的存在定理证明的题型，都可以用定理3来证明，定理3的适用范围更广.

由定理3亦可验证下面两个推论的正确性.

与罗尔定理的几何意义类似有如下的结论成立.

运用该定理证明方程有根和运用罗尔定理证明方程的思路与方法类似，区别在于看函数f（x）在给定区间的两端点x=a和x=b处是否连续.在两定理的选择运用上，就如同在根的存在定理和定理3之间作选择一样，并且定理4的适用范围比罗尔定理适用范围更广.

由定理4亦可验证下面两个推论的正确性.

推论3 若函数f（x）在开区间（a，b）内可导，在区间（a，b]上连续，且则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

推论4 若函数f（x）在开区间（a，b）内可导，在区间[a，b）上连续，且则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

在具体选用根的存在定理还是罗尔定理来证明方程有根时，要视方程的特点而定.一般情况下，若方程中含有导数或已知条件中涉及到可导这个条件，则选择罗尔定理或其推广来证明，否则采用根的存在定理或其推广来证明.在两个定理及其推广的选择应用上主要是观察题中所给的连续这个条件是否是在闭区间上，若不是，则选择定理的推广来解题.在应用推广和两个定理解题时，辅助函数构造技巧是类似的.

[1]杨仁付.浅谈方程有根问题的证明方法[J].高等数学研究，1998，（3）：32-34.

[2]李国成.浅谈利用微分中值定理解题的方法和技巧[J].成都教育学院学报，2004，18（7）：69-70，74.

[3]李英.微积分中讨论方程实数根的几种方法[J].内蒙古财经学院学报（综合版），2004，2（3）：79-80.

[4]杨朝晖.罗尔定理的应用与探索[J].荆楚理工学院学报，2009，24（11）：46-49.

[5]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

（责任编辑 钮效鹍）

An Exploration of Existence of Equation Root in Differential Calculus

LI Wei-ping
（Department of Mathematics&Information Technology，Nantong Normal College，Rugao，Jiangsu 226500，China）

Through some examples，the basic methods to prove the existence of equation root are studied，and the characteristics，problem-solving methods and procedures of such problems are summarized on the basis of the promotion of zero-point theorem and Rolle theorem.

differential calculus；testification of the existence of equation root；basic method

O172

A

1673-1972（2015）03-0036-04

2014-11-26

李卫平（1981-），女，江苏如皋人，讲师，主要从事高等数学研究.