通过一题多解，提高学生的解题能力

单鹏

摘 要：利用多种方法解题：利用三角形的重心的性质来解；利用三点共线的性质来解题；利用解析法来解；利用基底法来解题。

关键词：一题多解；解题能力；三点共线；基底法

方法一：利用三角形的重心的性质去解

首先向同学们提问：重心有哪些性质？

1.三角形的重心是三条高线的交点，它分中线所成的比为二比一；

2.连结重心与三角形的三个顶点，得到三个小三角形，那么这三个小三形的面积相等，且等于原三角形面积的三分之一；

同学们利用上面三个性质，可以猜一下想如何解决这个问题呢？就有同学想到了构造三角形，让题设中的O点成为新的三角形的重心，具体过程如下：

点评：该方法从三角形的重心的第三个性质入手，运用构造法，使同学们的解题思路得以顺利打开，从而顺利地解决了问题。

方法二：利用三点共线的性质来解题

点评：充分运用三点共线找到过渡的点A1，这样使得各边的比例关系一目了然，从而顺利地解决了该问题。

方法三：利用解析法来解

建立直角坐标系如下图所示，并设各点的坐标：C（c，0），B（a，b），O（x，y），则将已知条件用坐标表示，并根据纵坐标相等，可得到，此即為所求两个三角形的高之比，而所求两个三角形是同底的，所以所求两个三角形的面积的比为。

点评：由于所求两个三角形共底，所以就以这个底所在直线为X轴，建立坐标系，这样就把问题转化成求B点与O点的纵坐标之比了。

由图可知，B点到AC边距离与O点到AC边的距离的比为，所求两个三角形的面积的比为。

点评：这个方法是以与为基底，其他的向量都可以用这一组基底来线性表示，从而确定了O点在三角形当中的准确位置，这样要求的问题也就迎刃而解了。

参考文献：

黄智华.设置延伸拓展问题的几种过程.数学通讯，2009（08）.

编辑 谢尾合