不确定分数阶混沌系统的滑模同步

刘凤艳，刘恒，王宏兴



不确定分数阶混沌系统的滑模同步

刘凤艳，刘恒，王宏兴

（淮南师范学院 金融学院，安徽 淮南 232001）

研究了一类带有系统不确定项和外部干扰的分数阶混沌系统的同步问题. 基于Lyapunov稳定性理论设计了一个滑模面，并建立同步控制器，仿真实验表明，本文提出的方法具有较好的鲁棒性.

分数阶混沌系统；滑模控制；同步控制；Lyapunov稳定性分析

分数阶微分混沌系统广泛存在并引起了科研工作者的关注. 如在Chua电路[1]、Chen系统[2]、Liu系统[3]、Duffing系统[4]、Sprott系统[5]中，计算机数据模拟仿真发现，当方程的阶数是非整数时，系统仍表现为混沌行为. 这类混沌系统的同步控制在保密通信和信号处理等方面应用前景广阔，其同步方法有很多，如自适应同步、线性反馈控制、耦合同步、投影同步、广义同步、滑模控制等[6-10]. 其中，滑模控制方法是自动控制系统设计的常用方法，具有较好的稳定性和可靠性，并且能快速简单地实现主从系统的同步，适用于连续与离散系统、确定性与不确定性系统、线性与非线性系统等，现已推广应用至实际工程中.

1 基本知识

两个经常使用的定义是Riemann-Liouville和Caputo分数阶微积分.

定义1[12]68令，则任意函数的阶Riemann-Liouville分数阶导数为：

定义2[12]79设有阶连续导数，且前阶导数可积分，，则的阶Caputo分数阶微分表达式为：

Caputo分数阶微分是研究线性粘滞弹性问题发展而来的，其微分初值有非常明确的物理意义. 本文利用Caputo分数阶微分来研究分数阶线性系统的稳定性和同步控制等. 为方便，本文将简记为.

分数阶线性系统的稳定性已经得到了充分的研究，并且得到了该系统稳定的充分必要条件.

引理1[13]如果，则

2 分数阶系统的滑模同步

考虑如下的驱动系统（主系统，式（4））和响应系统（从系统，式（5））：

根据滑模控制的思想，为了使系统实现较好的滑模运动，需分两步设计：1）设计一个对外界干扰具有较强的鲁棒性的滑模面；2）根据滑模可到达条件设计滑模控制器，该控制器可使系统从空间任意一点出发的轨迹都能在有限时间内收敛到滑模面上[14].

定义同步误差

首先构造滑模面

计算得：

由上述条件得在不含模型不确定项和外部干扰时的等效控制器为：

在考虑外部扰动和不确定因素条件下改进鲁棒性，使两系统同步. 设计控制器为：

定理1 采用式（10）的控制器及满足式（11）的条件，即可使得主系统（4）和从系统（5）达到同步.

.

以上证明表明，在控制器的作用下，系统误差满足滑模条件，能够使得在滑模面外的点在有限的时间内趋近于或者达到滑模面，使得主系统和响应系统同步.

故控制器就可以写为：

3 数值仿真

为了验证所用控制器的有效性，我们引用Genesio-Tesi混沌系统进行同步仿真：

图1 Genesio-Tesi系统的混沌图

而实际的驱动系统是含有模型不确定项和外在因素扰动的，故相应的响应系统如下：

图2 分数阶Genesio-Tesi混沌系统的同步误差及控制器曲线

由Genesio-Tesi混沌系统仿真图形可以看到，控制器作用后，主系统（13）和从动系统（14）的状态误差值经过一段时间后（大概）达到了渐进稳定，即实现了两个系统的同步. 模拟结果显示，运用此控制器能够在短暂的时间内使两个系统达到同步，证明了这种控制器的可行性和有效性.

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[14] 黄丽莲，齐雪. 基于自适应滑模控制的不同维分数阶混沌系统的同步[J]. 物理学报，2013, 62(8): 080507.

[责任编辑：熊玉涛]

Sliding Mode Synchronization of an Uncertain Fractional Order Chaotic System

LIUFeng-yan, LIUHeng, WANGHong-xing

(School of Economics and Finance, Huainan Normal University, Huainan 232001, China)

The synchronization problem for a class of fractional-order chaotic systems with system uncertainties and external disturbances is investigated in this paper. A sliding mode surface and a synchronization controller are established based on the Lyapunov stability theory. Finally, the robustness of the proposed method is showed by simulation results.

sliding mode control (SMC); synchronization; fractional order chaotic system; Lyapunov stability analyses

1006-7302（2015）03-0005-05

O545

A

2014-12-24

国家自然科学基金资助项目（11401243）；淮南师范学院科学研究项目（2014xj45）

刘凤艳（1982—），女，黑龙江绥化人，助教，硕士，研究领域为分数阶微分方程.