双曲线因渐近线而精彩

●江苏省仪征市第二中学 俞仁宗

双曲线因渐近线而精彩

●江苏省仪征市第二中学 俞仁宗

渐近线是双曲线所特有的性质，因此学好渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.解决双曲线的相关问题时，在深刻理解渐近线含义的基础上，掌握一些常用的技巧和方法是必要的，本文以2015年江苏卷中一道双曲线客观题为引例，探讨一些与渐近线有关的命题及其解法.

引例 （2015年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_________.

解析：设点P（x，y）（x≥1），易发现直线x-y+1=0平行于渐近线x-y=0，所以c的最大值为直线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间的距离

点评：对于本题，通过挖掘隐含条件，即直线x-y+1=0与双曲线x2-y2=1的渐近线平行，从而利用双曲线与渐近线的关系解决问题.

人教版选修2-1课后探究中，探究出了渐近线的存在，即当双曲线向外无限延伸时与直线无限地接近，但永远不会与这两条直线相交.直线称为双曲线的渐近线.

（1）对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线并结合对称性，可以帮助我们比较准确地画出双曲线的草图.

（4）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.双曲线方程变成x2-y2=a2（或b2），其渐近线方程为y=±x.

总之，渐近线是双曲线教学的重点和难点.下面就与双曲线有关的命题展开探究.

一、由渐近线方程确定离心率

在椭圆中，离心率反映的是椭圆圆或扁的程度，双曲线的离心率反映了双曲线的什么性质？我们不妨从离心率与渐近线的关系来分析.设双曲线方程（a>0，b>0），离心率渐近线的斜率越大，则离心率越大，双曲线的开口越开阔，因此建立了渐近线的斜率与离心率的关系.

例1（2013年重庆卷）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，且所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（% ）.

解析：设双曲线的焦点在x轴上.由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k（k>0）必须满足又双曲线的离心率

点评： 由|A1B1|＝|A2B2|知两直线A1B1和A2B2关于坐标轴对称，有且只有一条这样的直线所成的角为60°，即存在两直线与x轴的夹角为30°的情况，不存在两直线与x轴的夹角为60°的情况，据此来确定渐近线的斜率，进而求出双曲线离心率的范围.

二、由离心率反探渐近线

三、由渐近线方程确定曲线方程

点评：一个确定的双曲线有两条确定的渐近线，而与两条渐近线对应的双曲线有无数个，因此，已知渐近线求双曲线方程还必须具备另一个条件.学习中要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．本题通过利用共渐近线的双曲线方程之间的关系，直接设出曲线方程，再利用已知条件确定参数的值即可.

四、利用渐近线确定直线与双曲线的关系

对椭圆或圆来说，如果其与某条直线只有一个交点，则直线与曲线相切.但对于双曲线和抛物线是否也成立呢？结论是否定的.将双曲线方程与直线方程联立，代入消元（消x或y）得到一元二次方程，当二次项系数不等于0时，利用判别式等于0，可得出k的值.当判别式为0时，直线与渐近线平行.

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

解析：当过点P（4，4）的直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点.

当直线与x轴垂直时，直线与双曲线只有一个交点.

当直线与双曲线的左支相切时，只有一个交点.

故满足条件的直线共有4条，答案为D.

点评：题目没有要求求出直线的斜率，故只要判断出满足条件的直线有几条即可，因此可利用数形结合思想，简洁求解.注意当直线与x轴垂直这一特殊情况，不要忽略.A