圆的切线方程与切点弦方程关系探究

杨福海

解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，是数形结合思想的重要应用。直线与圆的位置关系的判定中有几何法和代数法之分，几何法是通过圆心到直线的距离与圆的半径比大小，代数法是联立直线与圆的方程，通过方程组解的个数来判断直线与圆的位置关系。通常情况下我们不探讨这两种方法之间的联系，特别是在学习直线与圆的位置关系时我们并不强调位置发生变化时直线方程之间有什么联系。在课前预习时，学生遇到一道作业题，从中发现一个有趣的结论，却找不出所涉及知识的内在联系。我也咨询了不少老师，但没有得到满意的答案，因此我尝试从另一个角度进行探讨。

作业题：已知圆C的方程为x2+y2=16 ，点P在直线X=8上，过p点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB 恒过定点。

学生的解法： ∵PA，PB是圆C的两条切线， ∵OA⊥AP，OB⊥BP。 ∵A，B在以OP为直径的圆上。设点P的坐标为（8，b），b∈R，则线段OP的中点Q坐标为4

，。∴以OP 为直径的圆Q方程为（x-4）2+

y-2=42+

2，b∈R。化简得：x2+y2-8x-by=0，b∈R。∵AB为圆Q和圆C的公共弦， ∴直线AB的方程为8x+by=16，b∈R，所以直线AB恒过定点（2，0） 。

这个解法是我们平时教学中常用的方法，但是有个别学生发现了直线AB的方程8x+by=16，b∈R与过圆x2+y2=16上一点（x0，y0）的切线方程x0x+y0y=16完全雷同，于是提出了疑问：为什么定点P在圆上时过点P（x0，y0）切线方程与定点P在圆外时过点p（x0，y0）引圆的切线方程（切点为A，B，直线AB ）完全一样？在这里一条是切线一条是割线啊！

为了解决这个问题，我们首先要了解，如果设P（x0，y0）为圆外一点，过P点引圆x2+y2=r2的两条切线PA，PB ，切点为A，B，则直线AB的方程称为切点弦方程。通过上例方法的推导可得切点弦方程为x0x+y0y=r2。不可否认，切点弦方程确实与过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）的切线方程x0x+y0y=r2完全相同。那么这又是为什么呢？是偶然的现象还是必然的结论？

对此，我做了进一步思考，先从两个方程的求法上寻找两者之间的联系。

首先，先了解过圆C：x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程的求法。

方法一：当切线l的斜率存在，即y0≠0时，切线l的方程为y-y0=（x-x0），即x0x+y0y=x02+y02，因为P（x0，y0）为圆C：x2+y2=r2上一点，所以x02+y02=r2，则切线l的方程为x0x+y0y=r2;当切线l的斜率不存在，即y0=0时，切线l的方程为x=x0，因为x02=r2，所以切线l的方程也可改写为x0x+y0y=r2。综上，过点P（x0，y0）的圆C：x2+y2=r2的切线l的方程为x0x+y0y=r2。

在学完向量知识后，可以用以下方法求过圆C：x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程。

方法二：任取切线l上一点M（x，y），由题意得·=0。由向量的数量积可得x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，即x0x+y0y=x02+y02，因为P（x0，y0）为圆C：x2+y2=r2上一点，所以 xo2+y02=r2，则切线l的方程为x0x+y0y=r2。

方法三：任取切线l上的一点M（x，y），由题意得

·

·cosθ=r2 ，其中θ为和的夹角，即·=r2，则过点P的圆C的切线l方程为x0x+y0y=r2。

我们再来看看设P（x0，y0）为圆外一点，过P点引圆x2+y2=r2的两条切线PA，PB ，切点为A，B，则切点弦AB所在直线方程的求法如下：

方法一：跟上面作业题的解法类似，通过求以OP为直径的圆与圆C的公共弦可得切点弦方程为x0x+y0y=r2。

方法二：以PB为半径， P（x0，y0）为圆心的圆P的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=x02+y02-r2，切点弦AB即为圆P和圆C：x2+y2=r2的公共弦，两式相减可得切点弦方程为x0x+y0y=r2。

方法三：设A（x1，y1） ， B（x1，y1），则切线PA方程为x1x+y1y=r2，因为P（x0，y0）在直线PA上，所以x1x0+y1y0=r2，同理可得x2x0+y2y0=r2，又直线 x0x+y0y=r2（ x0、y0 不全为0）过点A（x1，y1） ，B（x1，y1） ，因此直线AB的方程为x0x+y0y=r2。

这种设而不求的思想给我们带来了简捷而意外的结果。

方法四：任取直线AB上的一点 M（x，y），连结 CA、CP 和CM ，设 CP和AB 交于点Q，由圆的性质可得CP⊥AB， CA⊥PA，由相似三角形可得CQ·CP=CA2=r2，而在 方向上的投影恰好是CQ，所以·=r2，于是直线AB的方程为x0x+y0y=r2。

通过上面的求法我们可以看到求切线方程的方法一跟求切点弦方程的方法三之间有一定的联系，可以利用切线方程求出切点弦方程，但还是解释不了为什么这两个方程完全相同的问题。而求切线方程的方法三和求切点弦方程的方法四能够带给我们一些启示，因为这两种求法完全一样，都是利用了动向量与定向量的数量积恰好等于 r2，也就是说不管点P（x0，y0）是圆C：x2+y2=r2上一点还是圆外一点，向量都是确定的，而点M（x，y）是直线（切线或切点弦）上任意一点，动向量在定向量投影与定向量的模长之积都是r2。由此可见，这两个方程存在一些必然的联系，只是无法了解谁是本源，表面上看感觉是由切线方程联想到切点弦方程的求法，也就是先有切线方程后有切点弦方程。事实果真如此吗？

既然两个方程有必然的联系，而且一条是切线方程，一条是切点弦方程，即割线方程，这不禁让我们联想到它们之间的变化过程，联想到导数教学中提到切线是割线的极限位置等知识，因此我们可以尝试从逼近的角度来理解它们之间的联系。

当弦 AB（不是直径）确定时，则以A，B为切点的两条切线的交点P也确定，即过两个切点A，B的切线PA，PB的方程也跟着确定。在学完导数的几何意义后我们知道当其中一个切点B向另一个切点A逼近时，切点弦 AB（不是直径）所在直线（割线 AB）会趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线称为点 A处的切线。我们发现这种定义真正反映了切线的本质，即割线（弦所在直线）的极限位置就是切线。也就是说当两个切点A，B重合为 A点时，两条切线PA，PB也成为了一条，且点 P也与A点重合。这就解释了为什么过圆 C：x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程与设P（x0，y0）为圆外一点，过P点引圆x2+y2=r2的两条切线 PA，PB，切点为 A，B，则切点弦 AB所在直线方程完全相同的原因。归根结底，切线是割线（切点弦所在直线）的极限位置，圆外一点P（x0，y0）随着割线的逼近与切点A重合，从而两个方程完全一样。

在此基础上我们可以把结论推广到更一般的情况：

已知P（x0，y0）为圆C：（x-a）2+（y-b）2上一点，则过点P的圆C的切线l 的方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2;

已知P（x0，y0）为圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一点，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为 A，B，则切点弦AB所在直线方程（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。

在数学教学中，“少教多学”能使学生对问题有更深的思考，产生解决问题的欲望，也能使教师有发现问题多样性的可能，促使教师努力提高业务水平和课堂教学效率。

数学思想方法就像一张“无形的网络”把整个高中数学的内容有机地联系起来，并渗透到所有的数学知识里，反映了庞大数学体系最本质和最深层的规律。在课堂教学中，教师要结合教学内容对学生进行数学思想方法的渗透，引导学生掌握各种数学思想方法，提高学生的解题能力和自主学习能力。

（责任编辑 赵永玲）