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分段函数

2015-10-08邹生书

中学数学杂志(高中版) 2015年5期
关键词:值域零点分段

邹生书

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却经常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.分段函数情形复杂、综合性强,能有效考查复杂函数的图象和性质,综合考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想和分类讨论思想,因此分段函数倍受高考命题人青睐,是历年高考中的热点题型.在2015年高考的全国各省市15份理科试卷中有8份试卷考查了分段函数,这8道题目均为客观题且大多为客观题中的压轴题,分段函数成为2015年高考中一道亮丽的风景线.下面对这8道考题一一加以解析,供参考.

例1(浙江卷第10题)已知函数f(x)=x+2x-3,x≥1,

lg(x2+1),x<1,则f(f(-3))=;f(x)的最小值是.

解因为f(-3)=lg10=1,所以f(f(-3))=f(1)=0.

若x≥1,则,f′(x)=x2-2x2,当12时,f′(x)>0,所以f(x)min=f(2)=22-3.若x<1,则f(x)=lg(x2+1)≥f(0)=0.

综上可知,f(x)的最小值是22-3.

点评本题主要考查分段函数的求值和最值.分段函数的最小(大)值是各段函数最小(大)值(如果有最小值或最大值)中的最小(大)者.

例2(福建卷第14题)若函数f(x)=-x+6,x≤2,

3+logax,x>2(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是.

解因为当x≤2时,f(x)=-x+6≥4,而函数f(x)的值域是[4,+∞),故当x>2时,f(x)单调递增,且f(x)>4,即a>1且3+loga2≥4,解得1

点评本题主要考查分段函数的单调性和值域,根据函数的单调性和值域列不等式组是问题解决的关键.

例3(湖北卷第6题)已知符号函数sgnx=1,x>0,

0,x=0,

-1,x<0.f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则().

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

解因为f(x)是R上的增函数,且a>1,所以当x>0时,xax,则f(x)>f(ax),从而g(x)>0.由符号函数的定义知,sgn[g(x)]=1,g(x)>0,

0,g(x)=0,

-1,g(x)<0,=1,x<0,

0,x=0,

-1,x>0,=--1,x<0,

0,x=0,

1,x>0,即sgn[g(x)]=-sgnx,故选B.

点评本题主要考查符号函数、函数的单调性,考查考生运用新概念解决问题的能力和继续学习潜能.

例4(山东卷第10题)设函数f(x)=3x-1,x<1,

2x,x≥1,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是().

A.[23,1]B.[0,1]C.[23,+∞)D.[1,+∞)

解①因为当x<1时,f(x)=3x-1单调递增,且f(x)

点评函数单调性的运用是本题获得简解的关键.

例5(北京卷第14题)设函数f(x)=2x-a,x<1,

4(x-a)(x-2a),x≥1.①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.图1

解①若a=1,则f(x)=2x-1,x<1,

4(x-1)(x-2),x≥1,作

f(x)的图象如图1所示.由图可得f(x)的最小值为-1.

②法1注意到,当x<1时,f(x)=2x-a=0

x=log2a<10

(1)若a≤0,由上知,当x<1时,f(x)=2x-a无零点;而当x≥1时,f(x)=4(x-a)(x-2a)无零点.

(2)若0

(3)若a≥2,由上知,当x<1时,f(x)=2x-a无零点;而当x≥1时,f(x)=4(x-a)(x-2a)恰有两个零点a,2a,故a≥2满足条件.

综上,实数a的取值范围是[12,1)∪[2,+∞).图2图3

法2当a≥1时,作出f(x)的图象如图2所示.

要使f(x)恰有2个零点,则其图象与x轴有2个交点,

当且仅当2-a≤0,即a≥2.

当a<1时,作出f(x)的图象如图3所示.

f(x)恰有2个零点,则当且仅当a<1≤2a,

2-a>0,解得

12≤a<1.

综上,实数a的取值范围是[12,1)∪[2,+∞).

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