分段函数
2015-10-08邹生书
邹生书
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却经常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.分段函数情形复杂、综合性强,能有效考查复杂函数的图象和性质,综合考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想和分类讨论思想,因此分段函数倍受高考命题人青睐,是历年高考中的热点题型.在2015年高考的全国各省市15份理科试卷中有8份试卷考查了分段函数,这8道题目均为客观题且大多为客观题中的压轴题,分段函数成为2015年高考中一道亮丽的风景线.下面对这8道考题一一加以解析,供参考.
例1(浙江卷第10题)已知函数f(x)=x+2x-3,x≥1,
lg(x2+1),x<1,则f(f(-3))=;f(x)的最小值是.
解因为f(-3)=lg10=1,所以f(f(-3))=f(1)=0.
若x≥1,则,f′(x)=x2-2x2,当1
综上可知,f(x)的最小值是22-3.
点评本题主要考查分段函数的求值和最值.分段函数的最小(大)值是各段函数最小(大)值(如果有最小值或最大值)中的最小(大)者.
例2(福建卷第14题)若函数f(x)=-x+6,x≤2,
3+logax,x>2(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是.
解因为当x≤2时,f(x)=-x+6≥4,而函数f(x)的值域是[4,+∞),故当x>2时,f(x)单调递增,且f(x)>4,即a>1且3+loga2≥4,解得1 点评本题主要考查分段函数的单调性和值域,根据函数的单调性和值域列不等式组是问题解决的关键. 例3(湖北卷第6题)已知符号函数sgnx=1,x>0, 0,x=0, -1,x<0.f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则(). A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)] 解因为f(x)是R上的增函数,且a>1,所以当x>0时,x 0,g(x)=0, -1,g(x)<0,=1,x<0, 0,x=0, -1,x>0,=--1,x<0, 0,x=0, 1,x>0,即sgn[g(x)]=-sgnx,故选B. 点评本题主要考查符号函数、函数的单调性,考查考生运用新概念解决问题的能力和继续学习潜能. 例4(山东卷第10题)设函数f(x)=3x-1,x<1, 2x,x≥1,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是(). A.[23,1]B.[0,1]C.[23,+∞)D.[1,+∞) 解①因为当x<1时,f(x)=3x-1单调递增,且f(x) 点评函数单调性的运用是本题获得简解的关键. 例5(北京卷第14题)设函数f(x)=2x-a,x<1, 4(x-a)(x-2a),x≥1.①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.图1 解①若a=1,则f(x)=2x-1,x<1, 4(x-1)(x-2),x≥1,作 f(x)的图象如图1所示.由图可得f(x)的最小值为-1. ②法1注意到,当x<1时,f(x)=2x-a=0 x=log2a<10 (1)若a≤0,由上知,当x<1时,f(x)=2x-a无零点;而当x≥1时,f(x)=4(x-a)(x-2a)无零点.