“学为中心”的数学课堂教学的四个特征

课堂教学以“学为中心”，即以“学生为中心”，以“学生的学为中心”，强调教学中“学”的第一性，强调教育要承认和重视学生个体差异对学习活动和效果的影响，强调课堂教学应着力于让每位学生在学习中发挥他们的主体性，挖掘每位学生最大的潜力，让每位学生在求真、民主、合作、愉悦的良好学习氛围中获得预期的意义建构、能力提升以及身心的健全发展.

一般地说，“学为中心”的数学课堂教学至少有着四个显著的特征：其一，问题开放.每个学生都是一个个独立的个体，都有自己不同的思维方式，教学应当设计开放的问题，使不同思维层次的学生在课堂上都能积极地思维；其二，认知主动.学习是学生自己的事情，任何人都代替不了，故而“学为中心”必须让学生在课堂上主动认知，有极高的参与度；其三，思维多元.开放的问题，必然导致学生思维的多元，学生在解决问题的过程中见仁见智，相互启发，发展思维；其四，建构丰富.学生在获得数学知识和原理的同时，数学思想方法得到充分的感悟，情感、态度、价值观也得到充分体验和发展.本文结合具体实例阐述，以与同行探讨.1问题开放

问题是数学的心脏，离开问题，课堂教学无从谈起.然而怎样设计问题却是大有学问，同样的教材内容和素材，不同的设计，其收效则完全不同.课堂是学生的课堂，问题设计当围绕“学为中心”，为学而设计.学生大多思维层次不一，各自又有不同的“最近发展区”，因而，教师对问题的设计，要有一定的开放性，让不同学生的思维相互碰撞和交融，真正使数学课堂成为学生学习和锻炼数学思维的场所，感悟和体验数学思想的场所.

案例1函数的单调性.

高中对函数单调性的研究分成两个阶段：第一阶段是用运算的性质研究单调性，知道它的变化趋势；第二阶段是用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢.函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数的局部性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据.它体现了对函数研究的一般方法，这就是，加强数与形的结合，由直观到抽象，由特殊到一般，由感性到理性，由定性描述到定量刻画，首先借助于图象的观察、分析、归纳，发现函数的增减变化的直观特征，进一步量化，发现增减变化的数字特征，从而进一步解析研究，数学刻画.

基于对本节课教材内容的理解，和其在研究函数性质中的突出地位，笔者认为在引导学生观察函数图象特征这一环节中，可对问题进行开放式设计，以给学生提供广阔的思维空间.

如笔者曾设计：观察下列函数图象（教师用ppt给出函数f（x）=x+1，f（x）=x2，f（x）=x3，f（x）=x3-2x2-x+2，f（x）=-x的图象），试分析每个图象各自的特点，从中寻找它们的不同点和相同点.

教学中，学生通过观察，纷纷表达了各自所见，交流如下：

（1）函数f（x）=x2的图象和f（x）=-x的图象都是轴对称图形，对称轴是y轴；函数f（x）=x3的图象是中心对称图形，对称中心是原点.

（2）函数f（x）=x+1，f（x）=x2，f（x）=x3，f（x）=-x的图象与x轴都只有1个交点；函数f（x）=x3-2x2-x+2的图象与x轴有3个交点.

（3）函数f（x）=x+1，f（x）=x3的图象都是上升的；函数f（x）=x2，f（x）=x3-2x2-x+2，f（x）=-x的图象有时上升，有时下降.

（4）函数f（x）=x+1和f（x）=x3的值随着x的增大而增大；函数f（x）=x2的值先随着x的增大而减小，再随着x的增大而增大；函数f（x）=x3-2x2-x+2的值先是随着x的增大而增大，接着随着x的增大而减小，最后随着x的增大而增大；函数f（x）=-x的值先随着x的增大而增大，再随着x的增大而减小.

……

学生从不同的视角对每个图象的特点从整体到局部，从宏观到微观进行了分析和表达，对以上所见之（1）、（2）虽不是本节课研究函数单调性的主要内容，但为后续研究函数的奇偶性埋下了伏笔.笔者对学生细密的观察和分析予以了积极的肯定，同时选择学生观察所见之（3）开始本节课的教学.

在平时的教学中，不少教师常常是给出几个函数图象后，让学生观察每个图象的变化趋势，以此开始对函数单调性概念的学习，问题指向单一，问题素材价值未充分挖掘，不同思维层次的学生难以有不同的展示，问题只为“教”着想，未为“学”服务.2认知主动

“学为中心”的课堂，学生认知主动，参与度强，不同思维层次的学生都能保持一种持久、亢奋的学习状态.当然，这要求教师在课堂教学中始终突出以学为本，站在学生的背后，面对一个问题让学生先思、先说，展示他（她）的认知成果.

案例2一元二次不等式及其解法（选自人教版A版必修5）.

本节课的主要内容是一元二次不等式及其解法.教材围绕一元二次不等式有关概念的形成过程及一元二次不等式的解法，教材按照“经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程——通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系——对于给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图”的逻辑顺序展开，着重研究了一元二次不等式的解与二次函数、一元二次方程的密切关联.在日常教学中，不少教师按教材情境（上网计费问题）得到不等式x2-5x≤0，然后讲授一元二次不等式的概念，接着，就引导学生考察该不等式与二次函数y=x2-5x以及一元二次方程x2-5x=0的关系.课上，思维都被教师牵引着，学生难有主动的学.笔者认为，在引导学生考察该不等式与二次函数y=x2-5x以及一元二次方程x2-5x=0的关系之前，应提出问题，让学生先尝试求解.对该处的教学，笔者曾与学生有过这样的一段对话：

教师：你能求解这个一元二次不等式吗？请你动笔试一试.

学生1：两边同除以x，得到x≤5，又因为x≥0，所以0≤x≤5.

教师：两边同除以x，如果x=0呢？

学生1意识到了刚才求解的缺陷，补充道：分类吧，当x>0时，两边同除以x，得到x≤5，故0

教师：很好！同学们将一元二次不等式转化为熟悉的一元一次不等式来解，但在转化的过程中要注意限制条件.还有别的思考吗？

学生2：x2-5x≤0即x（x-5）≤0，从而可得x≥0，

x-5≤0，或x≤0，

x-5≥0，解得0≤x≤5.

教师：咦，运用了有理数的法则，你真会思考！这实际上也是一种等价转化.还有不同的想法吗？

学生3：利用二次函数y=x2-5x的图象求解，……

让学生自己想出利用二次函数y=x2-5x的图象求解是非常难得的，这需要教师在授课中有意识地给学生提供自主探究解法的空间和时间，课堂只有回归学生的主体地位，他们的认知才会主动，思维才会积极地参与进来，才会不时地回报给你“惊喜”.3思维多元

我们知道，每个学生都有自己的活动经验和知识积累，都有自己的思维方式和解决问题的策略，只有学生真正建构起自己的理解时，数学学习才是富有成效的.“学为中心”的数学课堂就要重视学生建构自己的数学理解，多给学生创设思维自由“驰骋”的机会，一个有益的做法就是让学生编题，学生会编题就意味着对知识有了比较深刻的理解和掌握.笔者在函数的复习课中曾设计过这样一个问题：已知函数f（x）=xx-6，看看我们可以研究哪些问题？

笔者给学生比较充分的思考时间，学生见仁见智，编出了如下问题，笔者整理如下（部分）：

（1）画出函数f（x）=xx-6的图象；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）求f（x）在区间[1，4]上的最小值；

（4）求f（x）在区间[a，a+4]（a∈R）上的最大值；

（5）若f（x）在区间[a，a+4]上单调，求实数a的取值范围；

（6）若f（x）在区间（a，a+4）上既有最大值又有最小值，求实数a的取值范围；

（7）若f（x）在[0，a]上的值域为[0，9]，求实数a的取值范围；

（8）若方程f（x）=m有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围；

（9）若f（x）≤0在区间[a，a+4]上恒成立，求实数a的取值范围；

学生思维活跃，所编的不少问题很有思维含量，且大多用到数形结合的思想.确实，把握了函数的图象就把握了函数的整体情况.事实上，围绕函数图象，我们还可以引导学生编出许多诸如此类的问题.4建构丰富

“学为中心”的课堂教学应多给学生数学交流和表达的机会，让课堂更多地“充盈”学生的声音，在相互交流和表达的过程中，建构知识，丰富思想和方法.如笔者在21合情推理与演绎推理（人教版A版选修2-2教材）的教学时，就曾组织学生用自己的语言理解“归纳推理”和“演绎推理”概念，取得了很好的效果.

学生1：归纳推理，简单地说，就是由部分到整体、由个别到一般的推理.或者说，是从特殊到一般的过程.而演绎推理，实际上是由一般到特殊的推理.

学生2：归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验.因此，它不能作为数学证明的工具.在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的.因而，演绎推理是数学中严格证明的工具.

学生3：演绎推理实际上是命题由大到小的推理，而归纳推理实际上是命题由小到大的推理.

学生4：归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.演绎推理，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用.

……

不同的学生从不同的角度对同一内容进行自己的理解，有利于全面地理解知识，而且不同学生的思维可以互补互惠.如有的同学把合情推理和演绎推理视作一种概念加以描述，有的同学把这两种推理视作一种规则与方法，也有的同学把它看作是一种态度，一种对事物的探求的态度，看到一个问题，就想用推理找到规律，显然思维层次各不相同，这对教师也极具启发.尽管学生的语言有时可能不大严密，但这恰恰体现了学生对知识的一种自我“内化”，这比教师自己归纳有意义得多.鉴于此，课堂上教师要多一点：你是怎么想的？说说你的理解.多从学生角度出发组织教学活动，而不只从教师角度出发完成教学流程.

需要指出的是，“学为中心”的数学课堂应更多地展现学生学的行为，而非教师教的表现.要突出教学中“学”的第一性，教学过程应依据学习过程来设计，实现学习过程和教学过程的有机统一，保证教学过程按照学生的学习特征开展，从而促进学习.为有机整合学生的需求、兼顾学生的差异、激发和维持学生学习的主动性、挖掘学生的潜能，教师在计划和实施以“学为中心”的教学时要时刻反思自己的教学是否能够激发学生的兴趣，学生能否根据预期主动参与到学习中，这样的活动能否激发和挖掘学生的最大潜力，学生通过这样的活动是否能够达到预期的目标等.教师不仅仅要关注学生的学习，更要关注学生作为一个“真实、完整的人”学习什么，如何学习，学得怎样.作者简介陈柏良，男，硕士，浙江省特级教师，主要研究方向为数学课堂教学，著有《数学课堂教学设计》（华东师范大学出版社2013年1月出版）.