TED演讲：如何学习微积分

什么叫ED？是一种演讲模式（中国科学报2015417），每个理论表现在十多分钟的讲故事.

发挥一下，一部理论藏于一个案例，通过这个案例便能表现、揭穿理论.极简的说

一个案例≡一部理论

如此由案例学习理论，又不添加复杂度或额外证明，真合算：低成本高回报.

说大一点，这就是治学、思考的一种方法.

那么，当这一方法论落实、融合到大学最基础的课程，微积分理论，看会怎么样？

第一，一部微积分被表现为一个爬山故事：中心问题有

坡度+坡长或坡高

极简的说

微积分 ≡ 坡度+坡高

最后一项，山坡求高的方法，即牛顿-莱布尼茨公式.

第二，最难相信，却是真的：以上整个故事，包括牛顿-莱布尼茨公式，严格的数学论证只花十多分钟. 回想微积分常规的论证却要花上一学年，如此悬殊，必然令人怀疑，那就看完第二讲吧，严格不严格？

第三，微积分的常规叙述太符号化、太隐晦（例如ε-δ），看不见或只有存在性.

不够明白，不很放心. 所以，最好能重新叙述，变看不见为可视化，变存在性为构造性. 极简的说

叙述为0.9

但一样严格，不信看完第一讲吧！

第0讲微积分大意（不求甚解）

既是大意，就不能讲细讲透，就不求甚解. 见不到树木，但能见到森林，也就知足了.

我们的起点是出发产生的小数表示（如83=2.6666…）. 由于要测量方块的对角线，或2，又产生了无限小数（2=1.414…写不尽）. 这是分水岭，算术从此由有限进入无限. 从此，微积分也就开始研究

无限的算术

求知欲如饥似渴，人们发问：一般的无限小数是什么意思？无限多个数据相加，如何定义，如何表示？ ……

从案例抓起.

最容易最浅的表现就是无限小数，0.999…，此案例包含无限多个数据，09，009，0009，…，它们相加表示1

0.9+0.09+0.009+…=0.999…定义1

（不到1就加9，停不了，只有到1）.第二个表现就是庄子的案例（见第一讲），一尺之锤，日取其半，那么每日取走的长度，就是无限多个数据，12，14，18，…，它们相加表示1

12+14+18+…=0.999…=1

什么意思？意即每当左边多加几项，右边在小数点后就多加一个9. 进一步说，右边无论要加多少9，都可以做的到，只要左边项数足够多. 所以右边会出0.9，从而变到1.

然后，由浅入深：数据复杂度逐渐升级. 例如求单位圆周长时

n条切线长相加=n·tan360°n（n=3，4，5，…）≥周长（过剩近似）

采用无限多条切线长，也就是无限多个数据，它们相加表示圆周长

无限多条切线长相加 定义圆周长

什么意思？ 当使用比例表示，意即

圆周长n条切线长相加=0.999…=1

意即每当分母的n加大，比例在小数点后就加一个9. 进一步说，比例无论要加多少9，都可以做的到，只要n足够大. 当n加大，切线条随之加多，比例会出0.9，从而分母变到分子. 这里用分母定义分子，把圆周长表示为一串切线长，很复杂. 这是阿基米德时代的微积分.

上面圆的切线长经过调整（由过剩近似，≥弧长，调整为不足近似，≤弧长）. 然后，经过转换……（不求甚解），便有新表示：圆周长或

无限多条切线长相加=……=反正弦曲线的高

什么意思？当使用比例表示，意即

n条切线长相加曲线=0.999…=1

（此时切线长为不足近似，所以，分子≤分母），当n加大. 这里分子用分母定义，把圆周长表示为另一条曲线的高，简单许多. 这是牛顿时代的微积分.

这里，数学公式不单为了计算用的，更重要的是找出不同量之间的关系. 这种关系的理论价值超过了公式的计算价值. 就像勾股定理不单为了计算斜边的平方，更重要的是找出直角三角形各边之间的关系.

对圆（包括椭圆）的面积，也表示为反正弦曲线的高. 于是，圆周长，圆（包括椭圆）面积，这些历史难题，也都统一表示为一个反正弦曲线的高

满足了人们的求知欲. 还剩一个问题，这个高怎么算？以后再说.

以上不同例子，只是数据复杂度不同. 共同点无限多个数据相加=一个数

什么意思？当使用比例表示，意即

n个数据相加一个数（或一个数n个数据相加）=0.999…=1

（保证分子≤分母），当n加大.

以上便是微积分大意.要完全领悟，需要分别细述.（本文是林群院士在2015年7月15日北京召开的全国初等数学研究会第三届理事会第五次常务理事扩大会议上的报告.由杨学枝先生整理并提供.余文待续.）