追求知识呈现自然的数学教学设计微探

《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》（简称“人教A版”）主编寄语写到：数学是自然的，在这套教科书中出现的内容，是在人类长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其它概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味，这将有助于大家的学习.但是当前数学教学过程中，在数学知识的呈现上显得不够自然，即使是现行的教材也存在许多“数学规定”，显得蛮不讲理，这些都将对学生的学习产生较大的影响.基于上述原因，笔者认为，在数学教学设计中，教师要不断追求数学知识呈现的自然性，让学生所学的数学知识、方法、思想彰显“自然”本色.本文列举概念产生、问题解决等八个方面的片段教学设计，探析如何在教材的基础上通过教学设计使数学知识的呈现更显自然.1展现背景，让概念产生是自然的

概念不是凭空产生的想象物，数学基础性概念一般都具有现实原型和产生背景，比如无理数、复数的产生都是在原有数系内解方程无解的背景下产生的，向量是在力、速度等一些现实原型的基础上抽象出来的概念；教师在进行教学设计时，要善于将概念的背景和现实原型展现出来，让学生感受到概念产生的自然.

例如在周期函数与周期的概念，人教A版必修4第34页是这样描述的：正弦函数值具有“周而复始”的变化规律，这一点可以从正弦线的变化规律中看出，还可以从诱导公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z）中得到反映，数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律，对于函数f（x），如果存在一个非零常数，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.那“周而复始”的变化规律在自然界中存在吗？可以通过函数来刻画吗？为什么要在三角函数的背景下学习周期函数？这些过程展现不够，导致周期与周期函数的概念产生略显不自然，教师在这个片段的教学设计中要围绕这些问题展开，首先通过生活中的实例引出“周而复始”的现实原型，比如月亮圆缺变化，每年的四季更替，潮起与潮落等，让学生充分感知生活中存在大量“周而复始”现象；其次，我们知道函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，这种变化规律照样可以通过函数来刻画，那么如何刻画呢？再次，由于角α的终边绕坐标原点每旋转一周得到的角的终边与角α的终边相同，他们的同名三角函数值也相同，这是具体函数（三角函数）的“周而复始”现象.此时，周期函数与周期的概念呼之欲出、水到渠成.2揭示本质，让定义下得更自然

所谓下定义，就是用简洁明确的语句提示概念的内涵，即揭示概念所反映对象的特点或本质的一种逻辑方法，在数学学习过程中，往往需要给概念下定义，但有些定义由于缺乏本质的揭示，显得很不自然，强加于人.比如人教A版选修2-1第44页椭圆离心率的定义：我们把椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率，那么为什么一定要用ca来定义椭圆的离心率而不用ba呢？其实椭圆的离心率可以形象地理解为焦点离开中心的程度，离心率越大越“象”椭圆，因而用ca来定义椭圆的离心率比较合理、自然.又比如人教A版选修2-1第112页这样给平面的法向量下定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a请据字符数改字号叫做平面α的法向量，为什么要取与平面垂直的直线的方向向量（即与平面垂直的向量）作为平面的法向量？不与平面垂直的向量为什么就不能定义为平面的法向量呢？可见这又是一个强加于人的定义，因此教师在平面法向量的片段教学设计中，要尽量展现各个方向的向量，让学生充分体验同垂直于一平面的向量互相平行，可以确定平面的“方向”，而其它方向上的向量则不行，这样把与平面垂直的向量定义为平面的法向量就显自然.3创设情境，让问题的提出是自然的

爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为提出新的问题，需要创造性的想象力，标志着科学的真正进步”.在数学教学过程中，教师往往会预设许多问题让学生解决，但这些问题因何提出，如何提炼，学生浑然不知，显得不自然，强加于人，更谈不上培养学生提出问题的能力；所以教师在教学设计过程中要精于创设情境，让学生在不知不觉中发现、提出、提炼问题，不仅显得自然，而且培养了学生发现问题、提出问题能力.人教A版必修2第54页《直线与平面平行的判定》章节中有一个观察情景，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系，该情境与书中后面提出的问题明显脱节，如下改进后便可让问题自然出现：由观察可知边缘AB所在直线与桌面所在平面平行，为什么边缘AB在不同的位置都可以保证与桌面所在平面平行呢？源于边缘AB总与封面的另一个边缘平行，从而很自然地提出一个一般化的问题：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面是否平行？又如人教A版必修4第124页《两角差的余弦公式》章头中给的情境是求tan（45°+α）的值，而提出的问题是如何用角α、β的正弦、余弦值来表示cos（α-β）呢？问题与情境脱节，如果将教材中的情境改为求cos（60°-45°）的值，那又如何求得cos（60°-45°）呢？如果从一般性的角度来看就是研究什么问题呢？经过交流与讨论，提炼出问题：cos（α-β）与α、β的正弦、余弦值有什么关系？4探求联系，让方法的产生是自然的

问题解决是当前课堂教学中教师最为关注一个环节.但教师平时比较看重传授解决问题的方法而轻分析怎样想到用这种方法，从而导致问题解决方法的产生太突然，也导致问题解决不自然.那如何让方法产生更自然呢？笔者认为确立目标、探求联系最为关键.比如人教A版必修5第55页应用错位相减法探求等比数列的前n项和公式，错位相减法的适用范围明确，解法步骤简单，思维也很清楚，学生容易理解，但实际教学过程中，教师通常“硬生生”地直接给学生，或者说是“灌进去”，学生对错位相减法从何来感到比较突然，似乎从天而降，只知其然而不知其所以然.如何让错位相减法的产生显自然呢？（1）求等比数列前n项和公式的目标就是将n用等比数列的基本量a1、q表示，那如何a1、q表示n？构造方程是最根本的想法；（2）n=a1+a1q+a1q2+…+a1qn构造成关于n的方程，n=a1+q（a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1）-a1qn=a1+qn-a1qn，所以n-qn=a1-a1qn，从而得到等比数列的前n项和公式；（3）从n-qn=a1-a1qn的结构来看，只需构造n-qn即可，而这就是错位相减法的框架结构.此时错位相减法从何来显得自然；再如人教A版必修4第125页《两角差的余弦公式》通过锐角三角函数线的关系得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ后，又如何想到应用向量的数量积来证明对任意角都成立呢？源于cosαcosβ+sinαsinβ与向量的数量积公式a·b=x1y1+x2y2形式相近，而且α、β的终边与单位圆的交点可表示为（cosα，sinα），（cosβ，sinβ），如此设计就使应用向量的数量积求证两角差的余弦公式显得自然.5讲些道理，让“数学规定”显自然

在数学中，相关“规定”比较多，但在现行的高中数学教材中，很少有对“规定”过多解释，对于有些规定为什么是这样？教师担心自己讲不清楚，怕越说学生越糊涂，还有一种想法就是觉得没必要向学生说，理由是说与不说对教学效果没有影响；但从“数学是自然的”的理念来看，这些“数学规定”的出现与理念相悖，因此教师在教学设计时，要讲些为什么这么“规定”的道理，让“数学规定”显自然；例如人教A版必修1第54页这样给指数函数下定义：一般地，函数y=ax（a>0，且a≠1）叫做指数函数，那为什么规定a>0，且a≠1呢？教师在教学设计时可以这样讲道理，当a<0时，函数的定义域不确定，当a=0时，自变量x=0时无意义，且不具备太多的研究价值，当a=1时，函数值恒等于1，研究的意义不大；再比如人教A版必修5基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0），其实a=0或b=0也是可以的，但为什么要规定a>0，b>0，在设计时可以这样分析，当a=0或b=0，不等式显然成立，没有太大的研究空间，同时也与正数的算术平均数、几何平均数的定义不相吻合；也许教师讲的道理不太到位，但足以让这些“数学规定”显自然，也培养了学生的问题意识.6巧设导语，让课堂环节的过渡是自然的

数学课堂的每一个环节既相对独立又紧密联系，环节与环节之间需要一种自然地、内在逻辑的过渡，让后一个环节因前一个环节自然而生；但在实际教学中，环节之间的过渡显得强加于人，后一个环节往往从天而降，不知缘何而来；通过巧设导语能让各个环节之间自然过渡，使多个环节组成的数学课堂成为有机的整体，从而在学生思维与教材逻辑之间架设桥梁，启发学生思维、激发学习动机.比如人教A版必修5《基本不等式》这节课，在基本不等式ab≤a+b2的证明环节结束后如何过渡到几何解释环节呢？可用华罗庚的诗句“数形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微”作为导语进行过渡，使研究基本不等式的几何解释环节成为自然；又比如人教A版必修4《三角函数的诱导公式》这节课，在学习完诱导公式二、三、四及其应用后，根据角π+α，-α，π-α的终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴对称可得到诱导公式二、三、四，那与角α终边关于y=x对称的角如何表示呢？根据对称关系又能得到什么样的公式呢？如此设计导语，就能自然地过渡到学习诱导公式五这个环节.教师在教学设计时，要有设计环节之间过渡导语的意识，至于如何巧设导语，那需要教师长期的积累，并作为一门艺术来追求.7注重分析，让解题方法的形成是自然的

著名数学教育家波利亚说过：“掌握数学意味着什么？这就是说善于解题”.解题是数学学习的重要组成部分，在平时的解题教学中，由于对解题过程的分析与体验不够，导致解题方法的形成往往显得强加于人、不自然，学生日后遇到同一类问题也联想不到这类问题的解题方法，因此教师在进行解题教学设计时，要将设计的重心放在如何分析问题上，让各种解题方法自然形成，而不是去介绍解题方法.比如人教A版必修5第45页例4，已知等差数列5，427，347，…的前n项和为n，求使得n最大的序号n的值，由于等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，很自然想到应用二次函数的性质来求解，本题也可以从另外一个角度来分析，该等差数列是递减数列，若能找到一个n，使得第n项大于等于0，第n+1项小于0，便找到了使n最大的序号n的值，很自然地想到从等差数列的通项公式出发，解不等式组an≥0、an+1<0，从而得到n的值.8掌握策略，让知识的拓展是自然的

在平时的教学中，教师在讲完概念、公式、定理、习题后都会根据教学与学生的需要进行适当的拓展，不仅丰富了知识的内涵与外延，更重要的是培养了学生创新意识；至于怎么拓展、为什么这么拓展，学生浑然不知，被教师牵着鼻子走，知识的拓展略显不自然.那如何让知识的拓展更自然呢？甚至能达到学生自我拓展的境界？首先，教师在平时的教学中要让学生树立拓展的意识；其次要教会学生拓展的策略，比如改变条件、延展结论、条件与结论互换、归纳类比等.比如人教A版必修1零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0.

延展结论：y=f（x）是连续函数，若f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有几个零点？

改变条件：y=f（x）是连续函数，若f（a）·f（b）>0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内是否有零点？有几个零点？

条件与结论互换：y=f（x）是连续函数，若函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，那么是否有f（a）·f（b）<0？

实践证明，通过教学设计能让数学知识的呈现显自然，教师在教学过程中要精于教学设计，追求更自然、更合理的数学知识呈现过程，这必将促进学生良好思维习惯的形成，提高学生思维的深刻性和流畅性.

参考文献

[1]陈中峰.关注过程揭示促进有序建构知识[J].数学通报，2013，12：10-11.

[2]课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]温建红、李春霞.论“数学规定”的教学策略[J].数学通报，2013，11：9-10.

[4]魏韧.追求自然朴实的数学教学[J].数学通报，2014，11：16-18.

作者简介王神华，1972年6月，男，中学高级教师，特级教师，全国优秀教师，福建省中小学学科教学带头人，宁德市民族中学副校长，主管教学教研.