从2015年高考新课标卷Ⅱ第12题谈谈导函数的构造

陈崇荣++陈坤其

（2015年高考新课标Ⅱ第12题）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）

的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf′（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）图1

解构造函数h（x）=f（x）x，h′（x）=xf′（x）-f（x）x2<0，所以h（x）在0，+∞单调递减，又因为f（x）是奇函数，所以h（x）是偶函数，h（-1）=f（-1）-1=f（-1）=0.由h（x）=f（x）x得f（x）=x·h（x），要使f（x）>0，只需x·h（x）>0，即x>0，

h（x）>0，或x<0，

h（x）<0.画出h（x）的草图，如图1，所以x<-1或0

本题考查了利用导数研究函数的图像与性质，构造函数h（x）=f（x）x是其中一个关键点，如何构造呢？课本是否出现类似这样的结构呢？在《普通高中课程标准试验教科书·数学选修2-2》中《导数的计算》给出了导数运算法则：[f（x）g（x）]′=f′（x）g（x）-f（x）g′（x）g2（x）（g（x）≠0）.很明显在该运算法则中只需令g（x）=x就可得到题中的结构xf′（x）-f（x）.2拓展

构造函数在各地高考及质量检查中经常出现，本文就总结一些典型的构造.

2.1构造和（差）函数——若形如f′（x）±g′（x），可以构造f（x）±g（x）.

例1设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的x∈R有f（x）+f（-x）=x2，且在（0，+∞）上有f′（x）>x，若f（2-a）-f（a）≥2-2a，则实数a的取值范围是（）.

A.[1，+∞）B.（-∞，1]C.（-∞，2]D.[2，+∞）

解析f（x）+f（-x）=x2可以变形为f（x）-x22+f（-x）-x22=0.令g（x）=f（x）-x22，则g（x）+g（-x）=0，所以g（x）为奇函数.当x>0时，g′（x）=f′（x）-x>0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质知，g（x）在R上单调递增，f（2-a）-f（a）≥2-2a可变形为f（2-a）-（2-a）22≥f（a）-a22，即g（2-a）≥g（a），所以2-a≥a，即a≤1.所以选择B.

点评本题由“f′（x）>x”能否想到构造函数“g（x）=f（x）-x22”呢？思路应该结合已知条件“f（2-a）-f（a）≥2-2a”的变形f（2-a）-（2-a）22≥f（a）-a22，找到突破口.

2.2根据结构特征构造积函数

形如f′（x）g（x）+f（x）g′（x），可以构造h（x）=f（x）g（x），例如：

①对于f′（x）+f（x）>0（<0），构造h（x）=exf（x）；

②对于xf′（x）+f（x）>0（x<0），构造h（x）=xf（x）；

③对于xf′（x）+nf（x）>0（<0），构造h（x）=xnf（x）等.

例2（皖南八校2015届高三第一次联考）已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x<0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）

A.1B.3C.5D.1或3

解析因为当x<0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）x2f（x），令F（x）=x2f（x），式子2xf（x）+x2f′（x）>x2f（x）就转化为F′（x）>F（x），即F′（x）-F（x）>0，再次构造函数F（x）ex，则[F（x）ex]′=ex[F′（x）-F（x）]（ex）2>0，于是F（x）ex在（-∞，0）上单调递增，所以F（x）ex0时，则-x<0，所以-2xf（-x）+x2f′（-x）>x2f（-x），所以2xf（x）+x2f′（x）>-x2f（x），所以F′（x）+F（x）>0，所以[exF（x）]′>0，所以exF（x）在（0，+∞）上单调递增，所以exF（x）>e0F（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，f（x）>0；又因为f（0）=0，所以f（x）在R上的零点个数为1个.选择A.

点评本题两次构造函数“F（x）=x2f（x）”和“F（x）ex”颇有难度，仔细分析也“有迹可寻”，从“2xf（x）+x2f′（x）>x2f（x）”出发，首先由“2xf（x）+x2f′（x）”不难想到构造函数“F（x）=x2f（x）”，于是有“F′（x）-F（x）>0”，从而再次构造出“F（x）ex”，问题便解决.

2.3根据结构特征构造商函数

形如f′（x）g（x）-f（x）g′（x）g2（x），可以构造h（x）=f（x）g（x），例如：

①对于xf′（x）>f（x）（xf′（x）-f（x）<0），构造h（x）=f（x）x；

②对于f′（x）>f（x）（f′（x）-f（x）<0），构造h（x）=f（x）ex；

③对于xf′（x）>nf（x）（xf′（x）-nf（x）<0），构造h（x）=f（x）xn；

④对于f′（x）>kf（x）（f′（x）-kf（x）<0），构造h（x）=f（x）ekx.

例3（2015年福建省普通高中毕业班质量检查）定义在0，+∞上的可导函数f（x）满足xf′（x）-f（x）=x，且f1=1.现给出关于函数f（x）的下列结论

①函数f（x）在1e，+∞上单调递增②函数f（x）的最小值为-1e2

③函数f（x）有且只有一个零点④对于任意x>0，都有f（x）≤x2

其中正确结论的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

解析由xf′（x）-f（x）=x的结构，我们可以构造函数g（x）=f（x）x，则

g′（x）=xf′（x）-f（x）x2，于是g′（x）=1[]x[X）]，所以可以设g（x）=lnx+c，又因为f（1）=1，所以g（1）=1，所以ln1+c=1，解得c=1.我们可以得到g（x）=lnx+1，从而f（x）=xlnx+x.

对于选项①②可以通过求导来判断.f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，得x=1e2.

当x>1e2时，f（x）单调递增；当0

令f（x）=0，得xlnx+x=0，即x=1e，x=0（舍），所以f（x）有且只有一个零点，故③正确.

对于④，我们只要证明xlnx+x≤x2对任意x>0恒成立，即证lnx+1≤x成立，很明显该不等式成立，所以④正确.综上所述，选D.

例4（甘肃省兰州市2015年高三诊断）己知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）

A.（-2，+∞）B.（0，+∞）C.（1，+∞）D.（4，+∞）图2

解析因为f（x+2）为偶函数，所以f（x+2）的图像关于x=0对称，所以f（x）的图像关于x=2对称，所以f（4）=f（0）=1.令g（x）=f（x）ex（x∈R），则g′（x）=f′（x）ex-f（x）ex（ex）2=f′（x）-f（x）ex，又因为f′（x）0.故选B.

点评例3和例4中，由“xf′（x）-f（x）”、“f′（x）

例5（四川省成都外国语学校2015届高三月考）定义在（0，π2）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）

A.3f（π4）>2f（π3）B.f（1）<2f（π6）sin1

C.2f（π6）>2f（π4）D.3f（π6）

解析设F（x）=f（x）sinx，则F′（x）=f′（x）sinx-f（x）cosxsin2x，因为f（x）0，于是F′（x）>0，x∈（0，π2），所以F（x）=f（x）sinx在（0，π2）上为增函数，因为π4<π3，所以F（π4）π6得F（1）>F（π6），即f（1）>2f（π6）sin1，所以B也错误；由π6<π4，所以F（π6）

点评能否构造出函数F（x）=f（x）sinx是关键，从哪里出发寻找解题的突破口呢，很明显应该从题目的已知条件f（x）0，于是根据结构特征构造函数F（x）=f（x）sinx.

由上可知，根据已知条件的结构特征构造函数是关键，如何构造呢，我们可以根据已知条件和导数的三个运算法则：①[f（x）±g（x）]′=f′（x）±g′（x）②f（x）g（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）、③[f（x）g（x）]′=f′（x）g（x）-f（x）g′（x）g2（x）进行恰当的选择符合题意的函数，从而构造出新的函数，进而解决问题.