双根法是优化解析几何运算的又一利器

我们知道，二次函数有三种形式，分别是一般式、顶点式、双根式.其中双根式可以把一般式y=ax2+bx+c（a≠0）表示为y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中x1，x2为方程ax2+bx+c=0的两根.对于双根式的应用，笔者通过翻阅大量资料发现，其应用大都仅仅局限于二次函数方面，似乎不能在其他方面发挥功效，笔者又在知网上搜索双根法的相关文章，也不能看到其他方面的应用，似乎很少有人研究.但事实上，双根法还可以有更精彩的应用.笔者下面通过几道近几年的高考题为例，谈谈它在优化解析几何运算方面的应用.现分析如下，供大家参考.

例1（2012年高考重庆卷第20题）如图1所示，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形.图1

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程.

分析本题是一道典型的直线与圆锥曲线的综合解答题，通常的做法是联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理消元解决.结合本题，问题的关键是解决PB2⊥QB2这个条件转换为向量的数量积为零之后的复杂运算，思路虽然清晰，但运算比较复杂.

传统解法（1）该椭圆的离心率e=255，标准方程为x220+y24=1；（略）

（2）由（1）知B1-2，0，B22，0.当直线l垂直于x轴时，显然不成立.

当直线l不垂直于x轴时，可设其方程为y=kx+2.Px1，y1，Qx2，y2.

由y=kx+2，

x220+y24=1，得x2+5k2x+22-20=0.即（1+5k2）x2+20k2x+20k2-20=0，

所以x1+x2=-20k21+5k2，x1x2=20k2-201+5k2.

因为PB2⊥QB2，所以PB2·QB2=2-x12-x2+y1y2=0.

因为点P，Q在直线y=k（x+2）上，所以y1=k（x1+2），y2=k（x2+2）.

所以（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0，

所以4-2（x1+x2）+x1x2+k2x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=0，

化简得（1+k2）x1x2+（2k2-2）（x1+x2）+4k2+4=0.

所以（1+k2）×20k2-201+5k2+（2k2-2）×-20k21+5k2+4k2+4=0，（1+k2）×5k2-51+5k2+（2k2-2）×-5k21+5k2+k2+1=0，

所以（1+k2）（5k2-5）+（2k2-2）（-5k2）+（k2+1）（1+5k2）=0，

即5k4+5k4-10k4+10k2+k2+5k2-5+1=0，

故16k2-4=0，k=±12.

故直线l的方程为y=±12（x+2），即x+2y+2=0或x-2y+2=0.

点评此法虽然思路清晰，但运算极为繁琐.特别是在紧张的考试中，学生能算出最后结果的微乎其微.

本题中，如何化简（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0是运算的难点.上述的解法虽然可行，但效率却不够高，且极容易出错.事实上，我们只要能把（2-x1）（2-x2）和（x1+2）（x2+2）用k来表示，问题便能得到解决.如若注意到x1，x2是方程的两根，可把x2+5k2x+22-20=0左端的式子用双根法表示，然后进行合理赋值，就能轻而易举得到结果.

优化解法同传统解法可得x2+5k2x+22-20=0与（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0，因为x1，x2是方程x2+5k2x+22-20=0的两根，所以x2+5k2x+22-20=（1+5k2）（x-x1）（x-x2）①，

①式中再令x=2得，22+5k2（2+2）2-20=（1+5k2）（2-x1）（2-x2），

所以（2-x1）（2-x2）=80k2-161+5k2，

①式中令x=-2得，（-2）2+5k2（2-2）2-20=（1+5k2）（-2-x1）（-2-x2），

所以（x1+2）（x2+2）=-161+5k2，

所以（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=80k2-161+5k2+k2×-161+5k2=64k2-161+5k2=0.

所以64k2-16=0，即k=±12.下同传统解法.

点评此法通过巧设双根式并进行合理赋值，运算极为简洁，真正达到了化繁为简的效果，可以说几乎没有什么运算了，令人叹为观止！

变式1（2013年上海春季高考理科第28题）已知椭圆C的两个焦点分别为F1-1，0、F21，0，短轴的两个端点分别为B1，B2.

（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且F1P⊥F1Q，求直线l的方程.

（答案：（1）3x24+3y2=1；（2）直线l的方程为x+7y-1=0或x-7y-1=0）

我们现在再来看更为复杂的例2，若用传统解法解决，几乎不能算出来，而双根法则显示出巨大的威力.图2

例2（2014年高考辽宁理科数学第20题）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图2）.双曲线C1：x2a2-y2b2=1过点P且离心率为3.

（1）求C1的方程；

（2）椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点.若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程.

解析（1）可求得点P的坐标为2，2，C1的方程为x2-y22=1；（略）

（2）由（1）知C2的焦点坐标为-3，0，3，0，由此设C2的方程为x23+b21+y2b21=1，其中b1>0.由点P2，2在C2上，得23+b21+2b21=1，解得b21=3.因此C2的方程为x26+y23=1.

显然l的斜率不为0，故可设l的方程为x=my+3.点Ax1，y1，Bx2，y2，

由x=my+3，

x26+y23=1，得m2+2y2+23my-3=0，因为y1，y2是方程的两根，

故有m2+2y2+23my-3=m2+2y-y1y-y2，①

因为AP=2-x1，2-y1，BP=2-x2，2-y2，

所以AP·BP=2-x12-x2+2-y12-y2

=2-my1-32-my2-3+2-y12-y2

=m22-3m-y12-3m-y2+2-y12-y2=0，②

①式中令y=2得2m2+2+26m-3=m2+22-y12-y2，

所以2-y12-y2=2m2+26m+1m2+2，③

①式中再令y=2-3m，

得m2+22-3m2+23m×2-3m-3=m2+22-3m-y12-3m-y2，

所以m22-3m-y12-3m-y2=-4m2+10-46m2+2.④

③、④代入②易得2m2-26m+46-11=0，故可解得m=362±1，

因此直线l的方程为x-362-1y-3=0或x-362+1y-3=0.

点评本题方法使用了巧设直线方程的技巧，有效地降低了运算，在此基础上运用双根法，更是达到了优化运算的效果，可以说是双剑合璧！

变式2（2015年高考福建理科数学第18题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0过点0，2，且离心率为22.

（1）求椭圆E的方程；图3

（2）如图3，设直线x=my-1m∈R交椭圆E于A，B两点，判断点G-94，0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

（答案：（1）x24+y22=1；（2）点G-94，0在以线段AB为直径的圆的圆外）

通过上面几道高考题的分析，我们发现，双根法在解决解析几何中涉及MA·MB=λ（其中λ为常数，M为定点，A，B为直线与圆锥曲线的交点）的问题时具有巨大的威力，能使问题得到有效的解决.使得繁琐的运算变成简单可行的任务，能极大地提高解题效率！作者简介蓝云波，男，1981年10月生.中学数学一级教师.致力于高中数学教学和初等数学研究工作 .发表文章20余篇.