课堂信息对学生思维影响研究

韩倩

曹广福教授为首届（2003年）百名国家级教学名师之一，现为广州大学数学与信息科学学院院长，长期从事基础数学及运筹与控制研究工作，在国内外有重要影响的期刊上发表了大量论文，主持过国家自然科学基金、教育部博士点基金、教育部骨干教师资助计划等多项国家级与省部级科学研究基金项目.并且连续主持了三届国家级创建名牌课程项目，及省、市级精品课程建设项目，主编国家“十五”、“十一五”规划教材，2014年获得首届国家基础教育教学成果二等奖.2014年年底，广州市教育局决定，分别授予广州大学数学与信息科学学院院长曹广福教授、执信中学何勇校长为“广州市教育名家工作室”主持人.高校名教授与中学特级教师即可共同开展课堂教学研究，这在全国尚属首创，并开创了高校与中学教研紧密结合的先例.曹先生受邀参加广州执信中学同课异构的交流活动，就高中数学“基本不等式”进行了课例的示范，深受大家的好评.培养学生的数学思维能力，是当代教育改革的核心问题之一，而将思维学、信息论与数学教育结合起来的研究却少之又少.徐利治先生曾开展数学教育研究要重视跨学科研究[1].曹先生“基本不等式”的课例，彰显了思维与信息的关系定理的内涵.本文简介思维与信息的三个相关定理，并分析这些定理在曹先生“基本不等式”教学中的体现与运用效果.1信息的概念与三个基本定理

所谓信息，是指可获得某种事物认识的内容.田运先生根据信息结构划分，将信息分为饱和信息、含熵信息、空壳信息、黑洞信息[2].发出的信息中携载了信源含有的全部信息量则称为饱和信息，而含熵信息则是不饱和信息，空壳信息是没有熵也没有信息量的信息，黑洞信息则是全是熵、但没有信息量的信息[3].

思维信息论有三个基础性定理，简单的说，思维与信息相关第一定理可以表述为：在意识对信息的消化作用大于意识对信息的抑制作用的条件下，思维的过程状态完全取决于可触信息的信息量和起作用的方向；思维与信息相关第二定理表述为：解释的性质取决于解含信息与信息度（适合的信息内容与适合的信息数量）的符合程度（或偏离程度）；思维与信息的第三定理表述为：主体的思维性质取决于收受信息具有何种结构[4].2《基本不等式》关于三个定理的体现

2.1思维与信息相关第一定理的体现

世界上存在着数以万计的信息，其中对思维主体能够发生作用的只有一小部分，若教师在课堂中不能以语言或行动引起学生注意，学生意识就会起到抑制信息作用，从而不能引起学生的思维认知过程，教学效果则会大打折扣.而在曹广福教授的这一课中，课堂开始时他说道：

“很高兴能有这个机会给大家上一节课，不过说心里话，我站在这个讲台上心里是十分忐忑不安的，并不是说在座有很多老师我感到紧张，反正我这人脸皮本身比较厚，不会因为这个紧张.我紧张有两个原因，一个是我们在座的同学都是这个年级最优秀的同学，第二个呢，我已经差不多30年没站在中学的课堂上，心里很没谱，所以需要同学们给我信心，我们大家一起来共同探讨好这节课.”

这样的开白场，曹教授把自己放在了一个十分谦虚的位置，给学生以下几点信息：第一，老师是非常紧张的，以引起学生注意；第二，同学们都是很优秀的，以增强学生的自信心；第三，老师需要同学来给以信心，以增强学生对本节课的重视度，提升听课效率.“共同探讨”一词更是谦虚地把学生的学习热情带动起来.以上信息都旨在提升学生对本节课的关注，使学生将意识集中到课堂学习中来，从而使后期的知识信息能尽可能多的成为可触且易消化的信息.这同思维与信息相关第一定理表述的是一致的.只有尽可能多的给予学生可触信息，才能使学生意识具有消化作用，激发起学生对于课堂新知的学习兴趣.

“我今天要和大家一起探讨的问题是‘基本不等式.大家已经学过很多不等式了，我相信大家一定很清楚，不等式用来干什么？除了用来考试，它还能干什么？（停顿）一个是用来比较，还有一个是用来估计.我们知道一个函数通常是在一个范围内变化的，随着自变量发生变化，函数值也会跟着发生变化，就是说在这范围内它会出现很多的量，在各种不同量的比较中，有两个量是比较特殊的，大家知不知道是哪两个量？”

曹老师用了一分钟的时间回顾了不等式所学过的应用范畴，提出了一个问题，通过更具体的提问引导让学生回答出我们研究不等式是解决最大值和最小值问题，而对于这个问题的思考，同样也是用了一分钟的时间.当然这两个一分钟所要表达信息的重要程度以及学生所获得的信息类型是截然不同的，前一分钟的信息为饱和信息，而后一分钟信息会造成学生的认知冲突，是含熵信息，更容易引起学生意识的消化作用.

为了达到教学目的，教师首先必须想方设法使自己的教学能够最大限度地吸引学生[5].通过曹老师课堂的开场白我们了解到，适当的提问、停顿、自答都可以给予学生一定的可触信息，引起其意识的消化作用，特别要抓住学生心理，将其吸引到课堂中来，才能使本节课的学习更为高效，比如精彩幽默的语言，挥洒自如的教态，得体的仪表，亲切的话语，热情的鼓励，信任的目光等.

2.2思维与信息相关的第二定理的体现

人总是通过自己头脑中的某种思想框架来消化信息的，解释就是一定的思想框架对一定的信息的消化结果[6].所以在教学过程中，即使适当引入了情境及问题串启发学生，也是需要教师对所提出的情境及问题进行适当解释.

在曹教授的课堂中，关于函数中两个最重要的量是最值这一问题，曹教授解释道：“最大值最小值问题大家在前面其实已经碰到过，再讲二次函数的时候肯定碰到过，对二次函数进行配方，在配方之后，这个完全平方是非负的，甚至是一个正的，所以把它给省掉，这样就可以把自变量给消失掉，最后解得到一个常数，在验证这个常数能不能得到.但实际上最大值最小值问题，它所出现的函数类型是各种各样的，不一定仅仅是二次函数，实际上最大值最小值问题，从古希腊到今天已有一千二百年历史，一直是数学的一个非常重要的问题，它也是自然科学非常重要的问题.实际上数学就是自然界中一种抽象的印象，所以很多自然科学中的问题和数学是平行的，把它抽象出来就变成数学问题了，在整个数学发展的历史长河中，有一门学科堪称最伟大的发明创造，叫微积分，而促使微积分产生并促使它发展的一个很重要的问题，就是最值问题.由此可见最大值最小值问题在我们的自然科学以及我们的数学领域，他充当了一个多么重要的角色.”

较长的一段解释，旨在说明函数最值的重要性，也说明了不等式问题应结合函数的最值问题来解决.我们应如何去界定这个解释是否适合，并没有一个定论，不同的对象、不同的解释有不同的信息数量.思维与信息的第二定理告诉我们，解释的性质取决于解含信息数量与信息度的符合程度（或偏离程度）.在曹教授的上述解释中以微积分的发明创造指出不等式的重要地位，引起学生对后续学习的积极性，可见上述解释是适合的.

在将不等式问题归为函数的最值问题之后，曹教授给出如下的情境信息：

思考1你家建别墅时还剩下些材料，你打算使用这些剩余材料在别墅旁边依着墙壁修一个高度一定的矩形狗窝，若你剩余的材料可以修一个长为L的围墙，请问如何修建可以获得最大面积的狗窝？

该问题实质为二次函数的最值问题，我们设面积为，狗窝与别墅墙壁平行的那一侧长为x，则有

=x（L-x）2=12（xL-x2）=12[-（x-L2）2+L24]≤L28.

对于二次函数的最值问题，我们可以通过配方法进行伸缩变换.这是学生已知的情境及解决方法，此时曹教授提问道，对于不是二次的问题，又要如何解决.而对于新课的引入，曹教授并未更改情境，同样的情境下，只是反过来问.

思考2你家建别墅的材料用完了，没有准备好修建狗窝的材料，现在你计划依着墙壁修建一个面积为的矩形狗窝，你已选中建狗窝的材料，狗窝的高度也确定了，如何以最小的成本建成这样的狗窝？

情境未变，只是把已知和求解反过来，就化成了新课要解决的问题.设狗窝与别墅墙壁平行的那一侧长为x，周长为L，则L=x+2x，该式不是二次函数，求该式的最值启发学生同思考1中信息结合起来，从而学生想到可以把x（x>0）写成x2的形式，进而应用二次函数配方法求最值解决，这样学生便主动找出新问题的解决办法，锻炼了思维能力.

其中更值得注意的是，对于思考2中的式子，是由某学生上台板书出来的，其通过思考1中的信息，自己找到了解决基本不等式的方法.这就是曹教授成功之处，他像是一位向导或协助者，通过思考1及对函数最值信息的解释，引导启发学生思维.对于上台板书的同学获得的信息是含熵信息，使得她研究后续问题时能够主动联想到已有信息，从得获得正确的探究问题的思路.而后，曹教授对学生板书的式子进行了解释和修正，这里解释信息以使全班同学对于基本不等式的提出都能清楚明了，当然是合理且必要的.

2.3思维与信息相关第三定理的体现

该课例思考1中信息为饱和信息，关于思考1的不确定性已在思维中全部消除，思考2则是给予学生含熵信息，学生必然努力去寻求更多的信息以消除不确定性，通过对思考1中信息的再思考，想到配方法求最值问题，自己找到解决新问题的方法.而后追随学生的思路，曹教授给出

a+b=a2+b2±2ab2ab=（a±b）22ab

配成完全平方式之后，平方部分是大于等于零的，于是该式大于等于平方后面部分，这时再看学生板书的式子，大于等于一个负数对于我们的研究是没有意义的，所以得到基本不等式为

a+b=（a-b）2+2ab≥2ab

在已知了基本不等式之后，曹教授并没有立刻给出练习，而是对基本不等式的结构进行分析：

“这个不等式看起来并不难，刚才我们用配方法证明了它的正确性，但其实呢，数学中代数与几何是相通的，通常我们会把几何问题代数化（如解三角形），同样也可以将代数问题几何化，那么同学们课下可以运用几何的方法将这个基本不等式进行证明一下（教师指导了思路）.接下来我们来分析一下这个基本不等式变形的结构a+b2≥ab（a>0，b>0），它反映了什么关系？”

学生沉默，曹教授引导：

“大家应该对不等式前面的a+b2不陌生，很容易在生活中找到这样的例子.”学生轻声说道“平均数.”“对，就是算术平均，它是一个集中量数（比如考试成绩的平均分），ab呢？我们称之为几何平均，几何平均通常用在比率以及平均增长速度中，（教师举例子求GDP的平均增长速度）.所以这一个简单的不等式它沟通了两个正因子的和与积的不等关系，将积与和之间架起了桥梁，方便了我们的估计运算.既然两者之间可以相互转化，那么同学们可以对第一个问题=xy=x（L-x）2试着将积化为和看能不能求出最值.”接着教师总结“所以当我们再遇到积与和的形式的问题时，我们就可以通过基本不等式将两者进行相互转化，目的是为了做估计或者是求最值问题，这就是这个基本不等式的最大用途.”

基本不等式结构的分析，学生对基本不等式的理解更加深刻，并对它的用途及方法更加清楚明了.从以上教学过程中可以看出，课堂中信息的作用是渗透到教学的每一个细小环节的，教师给予学生不同的信息结构，会使学生产生不同性质的思维，这同思维与信息相关第三定理是吻合的.一堂高质量的数学课，不仅是知识的传授，更要尽可能地启发学生的数学思维，这就要求教师在不同的授课阶段给予学生不同的信息，新知识的讲授不仅仅是定义、定理、公式的累积，而应使学生在学习新知识的过程中产生与已有知识信息的认知冲突，激发其探索精神，主动寻求信息以消除不确定性，从而思维得到训练，知识得到扩展，更对知识的本质加深理解.3小结

数学是思维的科学[7]，高效的数学教学是在活跃的思维中积极主动的数学知识生成，是在独立思考基础上的数学学习，形成与贯穿理性质疑、批判性思维和探究创新性的活动过程[8]，教师课堂信息对学生思维活动起着至关重要的作用.首先教师所提供信息应使学生将意识集中到课堂学习中来，从而使后期的知识信息能尽可能多的成为可触且易消化的信息；新课的引入方式不拘一格，其目的都是对新课的引导和推进；进而课堂中适当的提问、探究及讨论，都是可以使学生产生认知冲突的含熵信息，使学生努力去寻求知识或通过已知消除未知，激发学生主动思考；课堂中的教学过程应符合人类的认识规律，才能使学生在活跃的思维中积极主动的生成数学知识.总之，思维与信息是相关的，遵循信息与思维的相关定理，在任何的教学模式下都是激发学生思维的重要途径.

参考文献

[1]徐利治，王前.数学哲学、数学史与数学教育的结合—数学教育改革的一个重要方向[J].数学教育学报，1994，3（1），3-8.

[2]田运.信息与思维[M].福建教育出版社，1993.

[3]田运.思维信息论概说[J].求是学刊，1990，1，20-23.

[4]田运，思维信息相关理论[J]，江汉论坛，1990，2.

[5]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].高等教育出版社，2005.

[6]田运.思维科学[M].浙江教育出版社，1988，10.

[7]单墫.数学是思维的科学[J].数学通报，2001，（6）：封1-2.

[8]乔希民，李军庄.基于促进学生高效学习的数学课堂教学行为研究[J].数学教育学报，2010，19（5），84-86.