大停电后电力系统黑启动分区的两步策略

孙 磊，张 璨，林振智，文福拴，张 静，叶 琳

（1.浙江大学 电气工程学院，浙江 杭州 310027；2.国网浙江省电力公司，浙江 杭州 310007）

0 引言

随着电力系统规模的不断扩大和电力市场改革的发展与深化，电力系统倾向于接近极限运行。虽然依靠保护装置和自动控制装置可有效降低大事故发生的概率，但由于很多不确定性因素的存在，大停电事故的发生依然无法完全避免[1-3]。一旦发生大停电事故，将会造成重大经济损失，甚至可能影响社会稳定。因此，如何在大停电事故发生之后快速、安全、稳定地恢复电力系统仍然是具有重大意义的研究课题[4-6]。

电力系统恢复策略总体上可分为2类[7-8]：串行恢复和并行恢复。串行恢复时依次恢复厂站，属于接力模式；并行恢复则将系统分为若干区域，首先对每个区域独立进行恢复，最后将各个区域连起来。并行恢复策略将复杂电力系统恢复问题分解成若干区域进行恢复，可降低问题复杂度，加快系统恢复进程。在此背景下，本文重点研究如何实现电力系统的分区恢复。

国内外在电力系统分区恢复方面已经做了一些研究工作。文献[9]提出一种基于广域测量系统的分区策略，在满足分区基本约束的前提下，保证各分区内的每个厂站都是可观的，以保证恢复系统的安全性。文献[10-11]基于有序二元决策图OBDD（Ordered Binary Decision Diagram）对系统进行分区，将黑启动分区搜索问题转化为布尔量决策问题进行求解。文献[12]将系统分区策略与分区内节点恢复路径、恢复顺序统一考虑，采用经典的最短路径法与遗传算法求解分区优化模型，得出最优分区恢复方案。文献[13]提出了一种基于超效率数据包络分析模型的评估方法，对扩展黑启动方案的恢复相对效率进行评估。文献[14]基于复杂网络社团结构理论提出了一种划分恢复子系统的算法，并利用模块度指标衡量划分结果的合理性，给出了子系统之间同步并列的先后次序。文献[15]提出了基于多代理系统的孤立微电网的黑启动策略，并分析研究了微电源的黑启动能力、参考源的选取以及黑启动过程中微电源控制方式等问题。文献[16]结合多目标优化技术和多属性决策方法对扩展黑启动方案进行优化和决策，通过对优化得到的Pareto最优解集进行Vague模糊集多属性决策分析，进而选出最优的扩展黑启动方案。文献[17-18]以四川电网为例，对大电网黑启动指导原则、黑启动过程中的电压频率控制以及并网控制等问题进行了研究。

综上所述，现有黑启动分区恢复方面的研究仅考虑了网络拓扑结构，没有综合考虑机组容量、负荷大小、线路潮流等参数。分区并行恢复的目的是为了保证系统能够实现快速恢复，这样就有必要在分区并行恢复过程中综合考虑分区后各区域中的机组快速恢复问题。区域内机组恢复问题属于组合优化问题，计算复杂性高；为实现快速恢复，本文提出黑启动分区的两步策略。文中首先介绍图论中的图分区模型和计及电力系统特征的拓扑图简化原则；然后根据机组分组模型将系统中所有机组分组；将分组后的拓扑图简化，建立电力系统图分区模型，并利用ILOG CPLEX求解机组分组模型和电力系统图分区模型；最后以新英格兰10机39节点系统为例，对所提出的方法进行了说明。

1 图分区

在采用图论方法对电力系统网络拓扑进行分区时，首先需要将电力网络用抽象图来表示。文献[19]详细介绍了电力网络的简化原则，在此不再赘述。在把电力网络抽象为一张稀疏连通图后，其分区问题就近似于图分区问题，但与一般图分区问题不同的是黑启动分区需要结合电力系统自身的特征。

1.1 图分区问题的数学模型

图分区问题的实质是将图中的节点在满足一定约束的前提下划分到2个或多个分区中，以优化特定的目标函数。到目前为止，图分区方法主要应用于并行恢复、稀疏矩阵排序、超大规模集成电路设计等领域[20-22]。

对于任意一个含有n个节点、m条支路的图，定义有向图的关联矩阵A，其中任一元素alj的取值原则为：如果节点j是支路l的一个顶点且支路l的方向起始于节点j，则其值为1；如果节点j是支路l的一个顶点且支路l的方向指向节点j，则其值为-1；否则其值取0。以图1所示含有4个节点、5条支路的系统图为例，其关联矩阵为：

图1 含4节点5支路的系统分区示意图Fig.1 Schematic diagram of partitioning for a 4-node 5-branch system

定义一个分区指标列向量X，其维数为网络的节点数，其元素取值为1或-1，数值相同的元素所对应的节点属于同一分区。将拓扑图分为2个区（即分区 Zq，1和分区 Zq，2，分别表示第 q 次调用分区模型时所得到的2个分区）时，定义分区Zq，1中任意节点j在指标向量X中的对应值xj都为-1，分区Zq，2中任意节点k在指标向量X中对应的值xk都为1。这样，如果已知分区指标列向量，就可以判断出哪些节点属于分区 Zq，1，哪些节点属于分区 Zq，2。 例如，在图1所示的网络中，假设将节点1和节点3分到Zq，1内，节点2和节点4分到Zq，2内，则其分区的指标向量X=[-1，1，-1，1]T。 将关联矩阵与指标向量相乘得到新的矩阵Y，由于可以根据Y的元素判断出线路的分区信息，这里将Y称为分区矩阵。Y是m维列向量，如果Y的元素yl为0，那么支路l为分区内的线路；如果yl不为0，则支路l为分区间的联络线路，yl的正负与分区间的联络线构成的割集的方向有关。对于图1所示网络，Y=AX=[-2，0，-2，0，2]T，因此支路 l1、l3和 l5为分区联络线，支路 l2在 Zq，1中，支路l4在 Zq，2中。 由分区矩阵的含义可以得到[23]：分区矩阵的转置与分区矩阵的乘积等于各分区间联络线数目的 4 倍，即 YTY=XT（ATA）X=4SIL，这里 SIL是各分区间的联络线数之和。

综上所述，由网络拓扑图的关联矩阵A和指标向量X就可以完全表征分区间联络线和各分区内部线路的组成。因此，对于含有n个节点、m条线路的网络拓扑图，以分区间联络线数目最小为目标的最优分区问题可描述为：

其中，X的第i个元素xi取值为-1或1。

这是一个典型的整型规划问题。

1.2 图的简化原则

实际电力系统的节点数和支路数一般都很多，为减少计算负担、提高计算效率，需要尽可能简化系统的拓扑图。文献[24]给出了研究系统主动解列时系统拓扑图的简化原则，其中3条原则同样适用于本文的研究，具体如下：（1）合并度为1的节点；（2）删除度为2的节点；（3）删除独立环。其中，本文在使用原则（2）对图进行简化时，还要求该度为2的节点既不是发电机节点也不是负荷节点。根据本文所提方法的特点，这里还提出一条简化原则，即：（4）合并已确定分组的节点。分组是指在对系统分区前，首先将部分节点划分到一组中，并在分区模型中等效为一个新节点，以保证组内的节点在同一个分区中。这里将各分组中的待恢复机组与该分组内黑启动电源等效为一个新的黑启动电源。新的黑启动电源所在节点的有功功率等于实际黑启动电源和该分组内待恢复机组的有功功率之和，新的黑启动电源所在节点的负荷等于实际黑启动电源节点、该分组内待恢复机组节点以及恢复路径经过的节点的负荷之和。对于已确定分组的节点，将这些节点等效为一个节点可保证同一组的节点被划分到同一个分区中。

2 恢复分区模型

2.1 黑启动分区的原则与约束

2.1.1 黑启动分区个数

文献[9]给出了黑启动分区个数的判断原则，即分区个数的最大值等于系统中黑启动电源数和负荷节点数中较小者，表示为：

其中，s为最大分区数；n为节点数；Nbi和Nli分别表示节点i处是否存在黑启动电源和负荷，其取值均为0或1（0表示不存在，1表示存在）。

2.1.2 约束条件

黑启动分区是系统恢复过程中的一个重要步骤，为保证系统安全、高效地恢复，各分区必须满足以下3个约束：（1）黑启动电源约束；（2）功率平衡约束；（3）最小有功功率约束。

关于上述3个约束的详细描述可参见文献[9]和文献[10]。

2.2 机组分组模型

为确定待恢复机组最适合由哪台黑启动机组来启动，首先要建立待恢复机组的分组模型，以使得各分组内的待启动机组从黑启动电源获得启动功率的时间最短。然后，在电力系统图分区模型中，把属于同一分组内的机组及它们之间的连接线等效为一个新机组，并在系统分区完成后，将等效的新机组还原到原拓扑网络中，这样就可以保证同一组内的机组仍在同一分区中，从而避免待启动机组被划分到其他分区从而导致其恢复时间延长的问题。

本文在确定待恢复机组分组时考虑了这些机组从黑启动电源获取启动功率所需时间最短这一重要因素，为了保证机组尽快获得启动功率，将相关线路恢复时间设定为线路的权重。

这里采用经典的最短路径算法即Dijkstra算法来确定源节点到其他任意节点的最短路径长度。由于线路的权重为该线路的恢复时间，因此黑启动机组到待恢复机组的最短距离即为构成恢复路径的各线路的恢复时间之和。

为构造待启动机组的分组模型，定义一个b行r列的分组标识矩阵V，其中b为整个电力系统中黑启动机组台数，r为待恢复机组台数。V由r个b维分组标识列向量 Vg组成，Vg=[v1g，v2g，…，vbg]T。 其中，g为任意待恢复机组的编号（1≤g≤r）；v1g、v2g、…、vbg分别为表征机组g所属分组的布尔变量，对于任一机组g的分组标识向量Vg中的元素，如果满足veg=1，且对于任意自然数 c（c≠e，且 1≤c≤b、1≤e≤b），vcg=0，则机组g属于分组e。Vg表征机组g与所有黑启动机组之间的恢复关系。

将待恢复机组分组，以任一机组从本组中的黑启动电源获得恢复功率所需时间最少，分组数等于黑启动电源数。这样，待恢复机组最优分组问题可描述为：

其中，[w1g，w2g，…，wbg]T为机组 g 的恢复时间向量，其任一元素wtg表示机组g到黑启动机组t的最短路径，即启动功率从黑启动机组t送到机组g所需时间；α为一个比例系数。式（5）表示任意分组e内非黑启动机组的台数不大于系统中非黑启动机组总台数乘以α，这样就可以避免多数待启动机组被划分到同一分组中。

式（3）—（5）所描述的优化模型是典型的带约束线性整数规划问题，可采用ILOG CPLEX求解，得到所有待恢复机组的分组结果。

2.3 电力系统图分区模型

分区并行恢复可以提高整个系统恢复速度。影响分区恢复效率的一个重要因素是各分区的同步问题。为提高分区同步并列恢复的效率，在分区时应尽量使得分区之间的联络线条数最少。另一方面，电力网络作为一种复杂网络，具有社团结构特性，分区结果应能在一定程度上反映其社团结构，即社团内部节点间的连接比较紧密，社团间的连接相对稀疏[14]。分区间的联络线潮流也是影响同步并列的一个重要因素，因此在黑启动分区时需要适当考虑联络线潮流，使联络线上有功功率绝对值之和最小。黑启动分区策略是在系统恢复之前制定的，此时无法预知系统恢复后的联络线潮流，可利用停电前线路的有功功率作为其近似值。

以联络线上有功功率绝对值之和最小为目标的优化问题可用数学方式描述为：

其中，Al为矩阵A第l行的行向量；Pl为线路l上的有功功率。

这样，以分区间联络线个数最少和联络线上有功功率绝对值之和最小为目标的电力系统分区模型可描述为：

其中，β为比例系数，用于反映联络线个数最小和联络线上有功功率绝对值之和最小这2个目标的相对重要程度。

该优化模型还需满足如下3个约束条件。

a.分区内黑启动电源约束。

其中，PGj为节点j的机组容量，如果j处没有发电机组，则该值为0；PLj为节点j的负荷容量，如果j处没有负荷，则该值为0；xj为分区指标列向量X的第j个元素，且xj的取值为-1或1；ε为一个数值很小的正数；U（x）为逻辑函数，当 x≥0 时 U（x）=1，当 x＜0时 U（x）=0；⊕为逻辑与运算符。式（8）用于保证每个分区内至少包含1个黑启动电源和1个负荷。

b.分区内功率平衡约束。

其中，d为分区内容许的有功功率不平衡量。式（9）保证每个分区内的功率不平衡量不大于一定的阈值。c.分区内机组最小有功出力约束。

其中，PminGj为位于节点j的发电机最小有功功率。式（10）表示各分区中总的负荷功率不低于分区中所有机组的最小有功功率之和。

上述电力系统图分区优化模型属于有约束二次整型规划问题，其中的优化变量只能取1或-1。这样，可以采用线性变换将该模型转换为有约束二次布尔类型的规划问题，并用ILOG CPLEX求解。

在此说明本节所给出的公式含义及其关系。式（2）用于确定黑启动分区个数；式（3）—（5）分别为待恢复机组最优分组问题的目标函数和约束条件；式（7）为电力系统分区模型的目标函数；式（8）—（10）均为约束条件。 式（3）—（5）和式（7）—（10）的关系为：式（3）—（5）为所提出的待恢复机组分组模型，是黑启动分区策略的第一步；式（7）—（10）为所提出的电力系统图分区模型，是黑启动分区策略的第二步。

对于用上述模型求解得到的某个分区是否要继续划分的判断原则是该分区所含黑启动电源数是否大于等于2。如果该分区有2个或2个以上的黑启动电源，那么该分区可以考虑继续划分，直至每个分区仅含有1个黑启动机组。例如，对于一个含有3个黑启动机组的区域，第1次求解电力系统图分区模型时所获得的2个区域必然分别含有1个和2个黑启动电源。一般而言，含有2个黑启动电源的区域其机组功率相对较大，其负荷一般也大些，因此该分区的规模就相对大些；如此对分区进一步划分，最终得到的各分区规模一般不会相差很大。

黑启动分区问题从根本上而言属于图论中的多分区问题（k-way partitioning problem），而研究多分区问题最常用的方法就是递归二分法（recursive bisection）。本节中所构造的电力系统图分区模型就是基于递归二分法的思想发展起来的，并将其描述为有约束二次整型规划问题。每次调用该图分区算法都可保证局部最优，整个求解过程则兼顾了全局最优。图分区问题属于NP完全问题，对于大规模问题无法在多项式时间内获得全局最优解。本文利用递归二分法将黑启动分区问题转化为凸二次规划问题，从而将其由NP完全问题转化为P问题，降低了问题的复杂性。

需要指出，在所构造的电力系统图分区模型中考虑了系统调频能力。在系统恢复过程中，通过控制各阶段负荷恢复量，使分区内发电机组有功功率不小于恢复负荷量，并留有一定裕度，从而保证各分区内的机组有能力对本分区进行频率调节。在黑启动子系统内可选择的电压调节方式有多种，包括利用发电机、变压器变比、无功补偿设备等。在系统恢复过程中，系统调度员可以合理选择电压调节方式，使电压保持在给定的安全范围内。

2.4 恢复分区步骤

本文提出了大停电后电力系统的黑启动分区两步策略。其中，第一步将系统中待恢复机组分组，以使得各分组内的待恢复机组从黑启动电源获得启动功率的时间最短，并保证在第二步分区过程中同一组内的机组仍在同一分区中，避免待启动机组被划分到其他分区而导致其恢复时间延长的问题；第二步采用电力系统图分区模型对整个系统进行分区，为实现系统并行恢复奠定基础，从而提高整个系统恢复的速度。

在此说明本文所提出的黑启动分区与主动解列分区的异同。两者的相同点有以下2点。

（1）均采用了两步策略。第一步将机组划分到若干机组群，第二步则确定最优的分区间联络线并对系统进行分区。

（2）目标函数相同。两者都以分区联络线个数最小和联络线上有功功率绝对值之和最小为目标函数。

两者的不同点有以下3点。

（1）对机组群的划分方式不同。所提出的方法将待恢复机组与为其提供启动功率的黑启动机组分到一组中，而主动解列的分区则是将同调机组划分到一个机组群中。

（2）分区的目的不同。黑启动分区用于将系统分为若干分区，待各分区实现恢复后再连通分区间联络线实现整个系统的快速恢复；主动解列分区则是在发生大干扰时及时发现系统中的失步机群，快速而准确地确定失步断面，避免系统大面积停电。

（3）约束条件不同。本文提出的黑启动分区方法所考虑的约束条件主要包括黑启动电源约束和最小有功功率约束；主动解列分区时所考虑的则主要包括孤网内发电机功角同调、有功功率平衡和节点电压可控等约束。

综上所述，所提出的恢复分区优化步骤如下：

步骤1 将实际电力网络用抽象图表示；

步骤2 采用机组分区模型将待恢复机组分组；

步骤3 简化电力系统拓扑图，通过合并恢复路径的方式将步骤2得到的各分组内的待启动电源和黑启动电源等效为一个新电源节点；

步骤4 根据电力系统图分区模型得到分区结果；

步骤5 若得到的某个分区中含有2个或2个以上的黑启动电源，则该分区重复步骤3和步骤4，直至得到的分区内都仅含有1个黑启动电源。

3 算例及结果

本文以新英格兰10机39节点系统为例来说明所提出的方法。假定线路的恢复时间如表1所示，线路的参考方向与潮流方向一致；假定节点30、31和34为黑启动机组所在节点。黑启动电源和负荷的个数分别为3和19，取两者中的较小值3为黑启动分区的个数。

表1 新英格兰10机39节点系统中线路的恢复时间Table 1 Restoration time of transmission lines in New England 10-unit 39-bus power system

3.1 机组分组

本算例含有3台黑启动机组和7台待启动机组，所以各待恢复机组的分组标识向量的维数为3。这里定义节点30、34、31分别为组1、组2、组3的源节点。α取值为60%。7台待启动机组的分组标识向量按编号由小到大的顺序分别定义为V1、V2、…、V7。对于任一节点，比如节点37，其从3个组的黑启动电源节点获取启动功率所需时间分别为6 min、20 min、19 min，这样节点37的恢复时间向量可表示为[6，20，19]T。 对于其他所有待恢复机组，分别求取其恢复时间向量（结果如表2所示，其中t1、t2、t3分别表示从组1、2、3源节点获取启动功率所需时间），然后后代入式（3），可求得系统的分组标识矩阵为：

表2 新英格兰10机39节点系统中待恢复机组的恢复时间向量Table 2 Recovery time vectors of units to be restored in New England 10-unit 39-bus power system

由求解得到的分组标识矩阵可知，节点37、38、39属于分组1，它们将从黑启动机组节点30获取启动功率；节点33、35、36属于分组 2，它们将从黑启动机组节点34获取启动功率；节点32属于分组3，其将从黑启动机组节点31获取启动功率。

3.2 图的简化

在得到分组结果后，可根据前述的图简化原则对系统拓扑图进行简化，得到15节点简化图。简化前后的图形变化情况如表3所示。

表3 39节点系统简化前后比较Table 3 Comparison of 39-bus power system before and after simplification

分组1中新的黑启动节点13的功率为2 620 MW，负荷为1956.5 MW；分组2中新的黑启动节点15的功率为2350 MW，负荷为1839.5 MW；分组3中新的黑启动节点14的功率为1222.9 MW，负荷为9.2 MW。

3.3 电力系统图分区模型

该系统有3个黑启动电源，因此需要求解2次拓扑分区模型。发电机的最小有功出力取其额定功率的60%。分区内允许的有功功率不平衡量d的取值为分区内机组有功功率总容量的5%，该值可根据实际系统的具体情况合理给定。式（7）所表示的目标函数中的比例系数β可由专家根据所研究的系统情况凭经验给出，在本算例中取β=0.01。

在第一次求解拓扑分区模型时，首先对15节点系统拓扑图建立电力系统图分区模型并求解，得到分区指标向量X′：

由 X′可知，节点 1、2、3、4、5、6、7、8、12、13 和 14在一个分区内，称之为分区Z1，1，该分区的功率不平衡量为9.9 MW；节点9、10、11和15在另一个分区内，称之为分区Z1，2，该分区的功率不平衡量为32.5 MW。

可得到分区矩阵 Y′=[0，0，-2，0，0，0，0，0，0，0，0，-2，0，0，0，2，0，0，0，0]T，分区间的联络线编号是向量Y′中值不为0的元素所对应的行号。因此，第一次模型求解时的分区间联络线为线路1-11、10-12和 8-9。

在第二次求解拓扑分区模型时，首先对第一次求解时所得到的分区Z1，1进行简化，得到一个9节点系统。该9节点系统中含有2个黑启动电源，分别位于节点8和9。对该9节点系统建立电力系统图分区模型并进行求解，得到分区指标向量X″为：

>

由X″可知，节点1和8在同一分区内，称之为分区Z2，2，该分区的功率不平衡量为60.5 MW；其他节点在另一个分区内，称之为分区Z2，1，该分区的功率不平衡量为-50.6 MW。

分区矩阵 Y″=[0，-2，0，0，0，0，0，0，0，0，-2，0]T。这样，9节点系统的分区间联络线为线路2-1和5-8。

对所求得的分区进行重新编号，得到最终分区结果如图2所示。

为说明所提出的方法的可行性和有效性，下面通过算例对本文方法与文献[14]的方法进行比较分析。表4给出了采用这2种方法得到的分区结果。

从表4可以看出以下2点。

a.从机组分组结果来看，2种方法的差别在于发电节点39被划分到不同分区中。节点39从黑启动机组节点30获取启动功率的路径所包含的线路依次为 30-2、2-1、1-39，所需时间为 8 min；节点 39从黑启动机组节点31获取启动功率的路径所包含的线路依次为 31-6、6-7、7-8、8-9、9-39，所需时间为15 min。显然，为保证节点39能够快速恢复，节点39应该被划分到分区3中，由黑启动机组节点30为其提供启动功率。

图2 39节点系统的分区结果Fig.2 Result of 39-bus system partitioning

b.从电力系统图分区模型的结果来看，文献[14]得到的结果中分区1和分区2的功率不平衡量均大于阈值。2种方法得到的分区1的结果差异在于是否包含节点17和节点18，文献[14]得到的分区1中有功功率远大于负荷，而且节点17和节点18并入分区1中，这可以使分区1内的有功功率不平衡量小于阈值。2种方法得到的分区2的结果差异在于是否包含节点39，文献[14]得到的分区2中有功负荷远大于可用有功功率，且节点39并入到分区3中，这使得分区2内的有功功率不平衡量小于阈值。采用本文方法所得到的各分区内有功功率不平衡量占相应分区的发电容量的百分比均不超过5%，且其绝对值相差不大，而采用文献[14]中的方法所得到的分区1和2的有功功率不平衡量的百分比均超过5%，且各分区有功功率不平衡量的百分比的绝对值相差较大。

因此，与文献[14]的方法相比，采用本文方法优化得到的分区结果更有利于大停电后的系统安全而快速恢复。

表4 采用2种方法得到的分区结果Table 4 Result of partitioning by two methods

4 结语

本文提出了基于递归二分法的电力系统黑启动分区的两步策略。第一步首先建立了待恢复机组的分组模型，将待恢复机组与为其提供启动功率的黑启动电源分为一组，从而保证了各分组内的待启动机组从黑启动电源获得启动功率的时间最短；第二步则发展了电力系统图分区模型，在满足一定约束条件的前提下实现了联络线数目最少和联络线的有功功率绝对值之和最小。然后，将黑启动分区问题转化为凸二次规划问题，从而将原来的NP完全问题转化为P问题，明显降低了问题的复杂性，为解决大规模系统分区问题提供了一种有效方法。新英格兰10机39节点系统的仿真结果表明了所提出的方法具有可行性和有效性。