结合多目标优化与灰色关联决策的负荷恢复方法

顾雪平，赵宝斌，刘文轩

（华北电力大学 电力工程系，河北 保定 071003）

0 引言

随着电力系统互联规模趋于复杂、大规模储能装置和可再生能源的应用以及电力市场竞争机制的引进，系统运行方式变得更加复杂，存在发生大停电事故的可能[1-4]。近年来，世界上大停电事故频发，如美加大停电事故[5]、欧洲多国大停电事故[6]、海南电网停电事故[7]等，造成了巨大的经济损失和社会影响，引起了社会的普遍关注。

负荷恢复是电力系统恢复的关键部分，也是系统恢复的最终目的。负荷恢复在系统恢复前期的主要作用是平衡机组出力，维持系统功率平衡，保证系统频率和电压满足要求；在后期的主要目标则是在足够大发电容量的基础上，大规模恢复重要负荷，减小停电损失。对于负荷的投入方式，现有文献给出了一些指导性原则。文献[8]将负荷恢复问题松弛为考虑系统稳态频率约束的0-1规划问题并通过“扩展的潮流计算”求解；文献[9]分时步恢复负荷，对待恢复负荷进行预选，采用层次分析法确定其综合权重，利用贪婪算法求解得到各时步恢复的负荷及线路；文献[10]把电力系统的负荷恢复问题建模为包括多约束条件的0-1背包问题，并设计了一种改进混合遗传算法来求解问题；文献[11]基于遗传模拟退火算法，采用罚函数处理各种约束，通过适应值函数确定最优恢复路径和最大允许恢复负荷量。目前，国内外的研究大多集中于负荷的全面恢复时期，通过采取不同的方法实现负荷恢复的智能优化，对于停电负荷的冷负荷恢复特性、发电机组的运行特性、系统频率对机组与负荷的影响以及系统实际运行中厂站的出线情况未能进行详细研究与考虑。

因此，本文针对系统网架重构完成后的负荷全面恢复的智能优化进行研究。鉴于负荷恢复过程是一个多目标多约束的复杂连续过程，很难对其进行全过程的统一优化，本文将负荷恢复过程按恢复时段进行划分，得到一个时间离散模型，根据发电机组的爬坡特性，分时步来完成负荷投入。综合考虑待恢复负荷的冷负荷恢复特性和发电机组的实际运行特性，将厂站的实际出线作为独立节点，建立包括可恢复负荷量、节点负荷重要度和系统频率变化水平在内的多目标函数，考虑冷负荷特性约束、计及频率特性的稳态潮流约束等约束条件，建立基于频率变化的发电机组出力和负荷恢复模型，通过带精英策略的快速非支配排序遗传算法NSGA-Ⅱ（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ）求取Pareto最优解集，根据信息熵权法确定各属性的客观权重，利用未确知有理数确定各属性主观权重，通过最小二乘法计算主客观组合权重，最后根据灰色关联决策模型对各方案进行决策得到最终方案。以新英格兰10机39节点系统为算例验证所提方法的有效性。

1 负荷恢复优化模型

1.1 目标函数的建立

在负荷恢复时间离散化的模型中，把整个负荷恢复过程划分为一系列的恢复时步，通过对每一时步的负荷恢复方案进行次序优化从而完成全过程的负荷恢复。假设各时步系统的初始频率一致，负荷的投入一般会导致系统频率逐步降低，当投入负荷不满足约束条件的要求时停止投入，该时步结束。然后，通过系统调频作用调节频率使其上升，等待系统频率恢复到正常值时再开始下一时步的负荷恢复，从而解决这一复杂的工程优化问题[12]。本文针对某一时步的负荷恢复决策进行建模求解，恢复原则是尽可能恢复可恢复量大、重要程度高以及使系统频率变化水平小的负荷，据此建立每个时步负荷恢复的目标函数。

（1）可恢复负荷量。

负荷恢复阶段的主要目标是快速全面地恢复剩余负荷，本文将本时步负荷恢复量最大化作为目标，为了计算方便，取负荷恢复量的负值作为目标函数，表达如下：

其中，ci表示节点负荷及其出线i是否投入，若投入取值为1，否则为0；Li为待恢复节点负荷及其出线i的可投入负荷量；nL为本时步系统中全部待恢复的节点负荷及其出线数。

（2）节点负荷重要度。

节点所有的负荷中，Ⅰ类负荷所占比例越高，该节点的重要程度越高，应优先选择。节点负荷重要度指节点负荷中Ⅰ类、Ⅱ类和Ⅲ类负荷的相对权重之和[13]，取节点负荷重要度之和的负值作为目标函数，表达如下：

其中，KiⅠ为节点负荷及其出线i中的全部Ⅰ类负荷在该负荷中的比重；KiⅡ为节点负荷及其出线i中的全部Ⅱ类负荷的比重；1.0、0.6、0.2分别表示Ⅰ类、Ⅱ类和Ⅲ类负荷的相对权重，根据文献[13]，Ⅰ类负荷所占比例越高，优先级越高，故重要负荷比例高的节点其权重越大。

（3）系统频率变化水平。

一般情况下，负荷的投入会导致系统频率降低，因此可以将频率作为衡量系统是否稳定的重要指标。本文将本时步投入某负荷后的系统频率与额定频率差值作为目标函数，表示为：

其中，fN为系统的额定频率，fN=50 Hz；fi为投入节点负荷及其出线i后的系统频率，由增广潮流计算得到。将频率引入潮流分布，考虑系统稳态频率对发电机组出力、负荷恢复影响的计算称为增广潮流计算[14]。

综合可恢复负荷量、节点负荷重要度和系统频率变化水平3个负荷恢复时的目标函数，负荷恢复的总目标定义如下：

1.2 约束条件

负荷恢复的过程中，需要综合考虑冷负荷特性约束、计及频率特性的稳态潮流约束、机组出力约束以及系统单次投入负荷量约束等。

1.2.1 等式约束

（1）冷负荷特性约束。

冷负荷恢复问题是指停电事故发生后的恢复过程中，系统中自动控制恒温的负荷同时启动，导致负荷恢复瞬间所消耗的有功功率远大于其额定功率的问题[15]。本文采取图1所示基于分段线性的简化模型对冷负荷进行拟合，可表示为：

其中，t0i为冷负荷i的投入时刻；Tdi为冷负荷i恢复过程的持续时间；L0i为冷负荷i的初始功率；KPLi为冷负荷i恢复时期的过载系数。由图1可知，冷负荷恢复具有基于时间变化的特性。本文采用最极端情况即每时步初投入冷负荷时的负荷恢复量作为标准，在机组出力约束和单次投入负荷量约束中进行校验。如果满足约束要求，则该冷负荷可被选择恢复。

图1 冷负荷恢复特性曲线Fig.1 Characteristic curve of cold load pickup

（2）计及频率特性的稳态潮流约束。

发电机模型：

负荷模型：

其中，PGi0、QGi0为发电机的额定功率；PLi（t）、QLi（t）为考虑冷负荷特性的负荷功率，这里采用每时步结束时刻的冷负荷功率；kGi为发电机调速器静态调节系数；kpi、kqi为负荷频率特性系数；api、bpi、cpi、aqi、bqi、cqi为负荷电压特性系数；fd为频差标幺值，fd=（f-fN）/fN；式（8）中变量含义参考文献[11]。在实际系统恢复方案的制定过程中，通常把0.5 Hz作为系统频率下降的最大值，每次允许同时投入的最大负荷量不应使频差有名值下降超过该阈值[16-17]。因而本文设定增广潮流计算中系统稳态频率的变化量应小于0.5 Hz。

1.2.2 不等式约束

（1）机组出力约束。

负荷恢复与机组出力关系密切，已恢复负荷及当前时步待恢复负荷所需的功率之和应小于已启动发电机组所能提供的功率之和，同时大于已启动发电机组的最小稳定出力之和，一般规定，机组的最小稳定出力是其额定功率的 30%[18]，即：

其中，nG为已启动的发电机组数；LLl为已恢复负荷；nLL为已恢复负荷数。PGj可由图2的简化机组启动曲线确定。

图2 机组简化出力曲线Fig.2 Simplified unit output curve

由图2得：

其中，TSj为机组 j的启动时刻；T′Sj为机组 j从启动运行时刻到同步合闸开始时所需的时间；T″Sj为机组j从开始爬坡向外输出功率到最大稳定出力所需的时间；KPGj为机组j的最大爬坡速率；PMj为机组j的额定出力。

（2）系统单次投入负荷量约束。

各时步系统投入的负荷可能是一条甚至多条线路同时投入[19]。系统的稳态频率是限制单次投入负荷最大量的主要因素。本文采用文献[20]的方法计算当前时步系统单次投入负荷最大量。由于网架重构阶段已结束，各发电机组都已启动并网，故当前时步的单次投入负荷最大量仅与负荷率有关。通过对当前时步单次投入负荷量的计算完成负荷的预选。

经计算，汽轮机机组的单次投入负荷最大量占已启动机组容量的5%左右。相比之下，各时步单次投入负荷最小量是一个相对固定量。各厂站内部出线仅由电网调度管辖，不能孤立地恢复某些重要负荷。因此单条线路的负荷恢复量即为当前时步厂站单次投入负荷最小量。不同厂站的单次投入负荷最小量可能不同，与其所带负荷总量、出线数等因素相关。

2 基于NSGA-Ⅱ的负荷恢复的多目标优化

NSGA-Ⅱ[21]有以下优点：提出基于个体非劣解水平分层的快速非支配排序方法，降低计算复杂度；提出拥挤距离的概念，作为个体的比较标准使个体较均匀地分布在整个目标空间；引入保优机制即精英策略，提高种群的整体水平。

负荷恢复的智能优化是一个多目标多约束的问题，负荷预选使恢复方案满足系统当前时步单次投入负荷量约束和冷负荷特性约束，计及频率特性的稳态潮流约束可以通过对负荷恢复方案的增广潮流计算进行校验。最终，该时步的负荷恢复问题松弛为由多目标和机组出力约束组成的0/1背包问题。具体过程如下。

（1）构造基因链。

根据负荷状态编码基因，1表示投运，0表示断开。将负荷状态赋予染色体，染色体长度即为所有负荷及其出线数。随机产生初始种群，一种负荷恢复方案由一个染色体表示。对当前种群内各染色体对应的负荷恢复方案进行增广潮流计算，得到多目标函数的适应值。

（2）快速非支配排序和拥挤距离计算。

根据个体的适应值进行非劣解水平分层，在同层个体中选择拥挤距离大的染色体。

（3）选择、交叉、变异。

根据锦标赛制选择父代个体，优先选择序值较小、拥挤距离较大的个体。通过分散交叉和正态变异，得到子代个体。

（4）精英保留策略及校验。

合并父代子代种群个体形成过渡种群，对过渡种群基因解码，逆转编码原则，得到新的负荷恢复方案。对新的负荷恢复方案进行增广潮流校验以验证其可行性。计算过渡种群个体适应值并非劣排序，经修剪种群个体个数后形成新的父代种群，完成一次迭代过程。达到迭代次数要求时，输出最优负荷恢复方案。

基于NSGA-Ⅱ当前时步的负荷恢复多目标优化流程如图3所示。

3 基于主客观组合赋权的多属性灰色决策

通过基于NSGA-Ⅱ的负荷恢复多目标优化，可以得到当前时步的Pareto最优解集。由于Pareto最优解集中可能包含多个方案，故需要结合实际情况和决策者的偏好进行决策。本文针对可恢复负荷量、节点负荷重要度和系统频率变化水平3个属性，首先根据信息熵权法[22]确定各属性的客观权重，然后利用未确知有理数确定主观权重，通过最小二乘法计算主客观组合权重，最后根据灰色关联决策模型对各方案进行决策。

图3 负荷恢复优化方案流程图Fig.3 Flowchart of load restoration optimization

3.1 信息熵权法确定客观权重

首先构造决策矩阵 A=（aij）N×M，其中 N 为可供选择的方案数量，M为属性数。效益型指标包括可恢复负荷量和节点负荷重要度，其属性值越大越好；系统频率变化水平属于成本型指标，其属性值越小越好。根据指标所属类型不同，对其规范化得到 R=（rij）N×M。

效益型指标：

成本型指标：

其中，I1、I2分别为效益型和成本型属性的下标集。对 R 进行归一化处理，得到归一化矩阵 R*=（r*ij）N×M，其中计算属性uj的信息熵，即：

规定当r*ij=0时，r*ijlnr*ij=0。

计算属性权重向量 u=（u1，u2，…，uM），其中 uj为：

3.2 未确知有理数确定主观权重

本文采用未确知有理数赋权法确定各指标主观权重[23]。 未确知有理数指对于任意闭区间[a，b]，a=x1＜x2＜…＜xn=b，如果函数 φ（x）能够满足

（1）根据专家的职称、工龄、学历和能力选定W名专家，确定其综合可信度。

（2）各专家对于M个评价指标权重的重要程度进行打分，分值应在0～10之间。

（3）每个指标的得分为xw，将xw对应的可信度与专家综合可信度相乘得到该指标关于xw的实际可信度αw。不同专家的打分具有相同的xw时，将其实际可信度合并，最后得到该指标的未确知有理数Aj，Aj=[[x1，xk]，φAj（x）]，其中 k 为某指标 j得分的个数，φAj（x）为未确知有理数Aj的主观可信度分布函数。计算未确知有理数的均值、标准差和变异系数，如式（16）—（18）所示：

（4）通过判断未确知有理数变异系数大小，判断专家的共识程度。如果变异系数较小，则专家意见较为统一，共识程度高。反之，专家意见没有达到共识，此时重复步骤（2）—（4），直到变异系数处于可控范围内，按照式（19）计算指标权重。

3.3 最小二乘法确定组合权重

客观权重体现了属性的信息量，主观权重体现了属性的价值量。主客观权重的组合实现了信息量和价值量的统一。本文使用最小二乘法[24]确定主客观组合权重。

假设各属性客观权重为 U= [u1，u2，…，uM]T，主观权重为 V= [v1，v2，…，vM]T，则根据最小二乘法确定组合权重为 W= [ω1，ω2，…，ωM]T，W 可由式（20）求得：

其中，数据规范化后得到矩阵 R= （rij）N×M；A、e、B 如式（21）—（23）所示。

3.4 基于灰色关联决策模型的多属性决策方法

多目标决策的常用方法有灰色决策法、层次分析法、模糊评价法等。本文采用灰色关联决策法[25]对多目标进行决策。

（1）确定比较序列和参考序列。

比较序列：Xi=｛xi1，xi2，…，xiM｝（i=1，2，…，N），其中M为属性数，N为可供选择的方案数量。本文中取[X1，X2，…，XN]T=R。

参考序列：X0=｛x01，x02，…，x0M｝。参考序列为理想的比较标准，本文取其为所有待选方案中相应属性的最优值。

（2）建立比较矩阵。

（3）计算灰色关联系数：

其中，ρ∈（0，1）为分辨系数，通常取为 0.5；minmin（Y）为两级最小差；maxmax（Y）为两级最大差；Yj，i为矩阵Y中第i个方案的第j个属性值。如果参考序列为属性最优值时，关联系数越大越好；反之，关联系数越小越好。

（4）计算灰色关联度。

将各元素的关联系数与相应的属性权重相乘后求和即为每个方案的灰色关联度。

4 算例分析

以图4所示的新英格兰10机39节点系统为例，验证负荷恢复多目标优化的可行性。根据文献[26]的方法重构网架，设发电机总出力恢复到最大出力的30%时完成系统网架重构阶段。各机组具体参数如表1所示。

图4 新英格兰10机39节点系统Fig.4 New England 10-unit 39-bus system

表1 被启动机组参数Table1 Parameters of units started up

电力系统参数设置如下：发电机调速器静态调节系数 kG=30，负荷频率特性系数 kp=1.5、kq=0[27]；负荷电压特性系数ap=aq=cp=cq=0.3、bp=bq=0.4且ap+bp+cp=1、aq+bq+cq=1[11]。 由文献[27]，冷负荷持续时间取Td=20 min，冷负荷过载系数KPL=2；在通过已启动机组恢复停电区域内的节点时，考虑到人为因素和倒闸操作等原因，一个节点恢复到稳定状态大约需要5～15 min，取步长为Δt=20 min；负荷及其出线参数见表2。NSGA-Ⅱ参数设置如下：种群大小为50，交叉概率为0.9，变异概率为0.1，最大迭代次数为100。基于NSGA-Ⅱ的负荷恢复多目标优化Pareto解空间如图5所示。

由图5所示，负荷恢复多目标优化的第一时步共有3个待选方案，因此需要对其决策。首先根据信息熵权法确定各属性的客观权重，按照效益型和成本型指标格式对决策矩阵规范化，确定客观权重U=[0.2997，0.3070，0.3933]；然后利用未确知有理数确定主观权重，假设未确知变异系数为15%，选择5名专家对3个属性重要程度进行评分得到主观权重V=[0.4968，0.2805，0.2227]；接着通过最小二乘法计算主客观组合权重 W=[0.3982，0.2938，0.3080]；最后根据灰色关联决策模型对各方案进行决策，结果如表3所示。

表2 负荷及其出线参数Table 2 Parameters of loads and outlets

图5 Pareto解空间的分布图Fig.5 Spatial distribution of Pareto solutions

表3 负荷恢复方案结果Table 3 Results of load restoration schemes

表3列出了负荷恢复多目标优化的3个互不支配的方案，其中可恢复负荷量和节点负荷重要度属于效益型指标，系统频率变化水平属于成本型指标。根据灰色关联决策模型得到灰色关联度d2＞d1＞d3，方案2为当前时步负荷恢复多目标优化的最优方案，即第一时步恢复的负荷及其出线为4号节点负荷的2、4号出线，12号节点负荷，16号节点负荷的1、2、3号出线以及31号节点负荷。其中，4号节点负荷的4号出线中包含10%的冷负荷，故恢复初期所需功率大于负荷的额定功率。由于其符合各约束的限制，故满足要求。采用方案2恢复负荷时，系统稳态频率为49.88 Hz，符合稳态频率要求。按照上述方法，可以得到如表4所示的新英格兰10机39节点系统负荷及其出线恢复方案。

表4 新英格兰10机39节点系统负荷恢复方案Table 4 Load restoration scheme of New England 10-unit 39-bus system

负荷恢复的多目标优化，既保证了尽快恢复负荷，减少经济损失，又兼顾了所恢复负荷的重要程度和系统的稳定性，为电力系统恢复计划的制定提供了更合理的参考和选择。

5 结论

本文根据系统网架重构后形成的网络，结合多目标优化和多属性决策方法，提出一种分时步的负荷恢复优化方法。该方法建立包括可恢复负荷量、节点负荷重要度和系统频率变化水平在内的多目标函数，通过考虑冷负荷特性约束、计及频率特性的稳态潮流约束、机组出力约束以及系统单次投入负荷量约束等约束条件，建立发电机出力和负荷恢复模型。基于NSGA-Ⅱ得到当前阶段的Pareto最优解集，通过最小二乘法计算主客观组合权重，根据灰色关联决策模型对各方案进行决策得到最终方案。最后，以新英格兰10机39节点系统为算例验证了所提方法的有效性。