基于DSP在线实现特定谐波消除技术的2种方法

蔡 鸿，叶满园，李 宋

（华东交通大学 电气与电子工程学院，江西 南昌 330013）

0 引言

特定谐波消除脉宽调制（SHEPWM）技术具有开关频率低、输出波形质量好、开关损耗小、逆变效率高、输出滤波器尺寸小等优点，在逆变器PWM控制，尤其是在高压大容量多电平逆变器的控制方面受到了越来越多的关注。非线性消谐方程组的求解是限制该调制技术应用于现场的一大难题，对此已有大量研究。对于迭代类算法，为了解决初值问题，文献[1-5]提出了质心重合、等面积法等初值选取方法，这些方法的提出极大减少了初值选取的盲目性，并增加了初值可靠性；文献[6-7]应用同伦算法求解消谐方程组，该方法具有很宽的收敛域，对初值的要求不高，在SHEPWM中得到广泛应用；文献[8-10]利用Walsh域和傅里叶域间的变换关系，将傅里叶域下的非线性超越方程组变换为Walsh域下的分段线性方程组，并对其进行求解，该方法提高了SHEPWM控制技术中计算机实时控制的可能性。以上研究解决了SHEPWM技术的一些关键问题，但对于该技术的在线实现国内外很少文献提及，其主要受困于非线性方程组求解的难度。文献[11]提到可以利用查表法实现，但由于无法得到合理的开关角度解而阻碍了其对查表法的进一步研究。文献[12-13]提出了一种利用三角函数倍角关系将SHEPWM非线性方程组转换成代数多项式方程组，并利用合成理论对方程组进行求解，得到了非线性方程组的所有解，并且该方法不需要初值，但采用合成理论求解多项式的计算量大，计算速度慢且计算机编程实现复杂。

非线性方程组转换成代数多项式方程组求解的方法，可以获得方程组的所有解，这为SHEPWM技术在线实现提供了契机。本文结合已有研究，从非线性方程组转换成代数多项式方程组的角度出发，利用MATLAB专门提供求解多项式方程组的Solve函数对代数多项式方程组进行求解，该方法简单、高效、快速，并且可以获得比较好的消谐效果。本文利用该方法求解得到了七电平逆变器SHEPWM方程组的所有解，绘制了开关角度解轨迹，选取了合理的开关角度解，并分别利用线性插值法和牛顿迭代法，实现了SHEPWM开关角度的在线计算。最后，比较分析了2种方法的特点，这对SHEPWM的在线控制具有实际意义。

1 SHEPWM消谐模型

1.1 三角函数模型建立

级联七电平逆变器由3个H桥单元构成，其拓扑图如图1所示。由于阶梯波调制方式在级联多电平逆变器上容易实现，所以此种调制方式具有较好的实用性。

图1 H桥七电平逆变器拓扑Fig.1 Topology of H-bridge seven-level inverter

阶梯波多电平逆变器输出电压谐波系数数学表达式如下：

其中，0＜θ1＜θ2＜…＜θN；bn为谐波系数；pk在 θk上升沿处记+1，下降沿处记-1。

图2 级联七电平逆变器阶梯波合成模式Fig.2 Staircase wave synthesis mode of cascaded seven-level inverters

根据式（1），可以列出三角函数表达式表示的数学消谐模型如下：

1.2 模型转换

文献[15]推导了余弦多倍角公式，可以很方便地得出多倍角分解时的系数，将公式进行处理可以得到以下转换通式。

当n为奇数时，有：

当n为偶数时，有：

根据式（3）计算可得到5倍角和7倍角的分解式分别为：

令 cosθ1=x1，cosθ2=x2，cosθ3=x3，结合式（2）、（5）、（6），可以将余弦函数表示的消谐模型转换为如下所示的代数多项式消谐模型：

其中，1＞x1＞x2＞x3＞0。

2 多项式消谐模型求解

对于代数多项式的求解有很多种，基本的类型包括数值解法、符号解法和数值符号混合求解[16]。为了得到方程组的全部真实解，本文采用符号解法对代数多项式方程组进行求解。其中，经典的多项式解法是Groebner基法和吴方法，但这二者在计算机编程实现时，难度与文献[12-13]提及的合成理论难度相当，且计算量大。本文采用数学软件MATLAB中提供的专门解代数方程（组）的符号（解析）解的函数——Solve函数，利用它可以求解本文的代数多项式模型，并可以轻易地得到方程组的解，这种方法简单、高效且不需要初值。本文利用这种方法对级联七电平逆变器SHEPWM消谐模型进行求解。其具体步骤如下：

a.将调制比系数m代入式（7）；

b.利用Solve函数对代数多项式方程组进行求解得到 x1、x2、x3；

c.将步骤b中的x1、x2、x3的解进行反余弦运算，[θ1θ2θ3]=[arccosx1arccosx2arccosx3]得到开关角度 θ1、θ2、θ3。

按照上面的步骤求解得到了级联七电平逆变器阶梯波调制的所有解，其调制比范围为[0.485，1.07]。

图3 开关角度随调制比变化的轨迹Fig.3 Curves of switching angle vs.modulation ratio

图3为开关角度随调制比变化的开关角度轨迹（按调制比增量Δm=0.01进行绘制）。 其中，调制比[0.637，0.786]区间内消谐方程组含有 2 组解。为了解所求解的特性，本文对所有开关角度进行了逐个仿真，并记录了仿真中的线电压的THD。线电压THD与调制比m的关系曲线如图4所示，在整个阶梯波调制区间内，线电压总谐波含量都小于20%，且在大部分调制区间内第1组解控制效果优于第2组解。

图4 线电压THD与调制比的关系曲线Fig.4 Curves of line voltage THD vs.modulation ratio

3 DSP在线控制

本文利用上文中求得的开关角，分别采用线性插值和牛顿迭代2种方法实现特定谐波消除技术开关角度的在线计算，并比较分析了2种方法的特点。其中，2种方法采用的均为第1组开关角度解。下文所述的2种方法均采用DSP2812实现。

3.1 线性插值法

七电平逆变器SHEPWM调制比范围为[0.485，1.07]，为了方便建立数据表格，此处取调制比区间为[0.49，1.07]。 由第2节可知调制比增量为Δm=0.01，因此可建立大小为1×59的数据表格，如下所示：

该数据表格为本文线性插值法中存入DSP2812寄存器的数据，其中A1、A2、A3分别对应开关角度θ1、θ2、θ3。

由于调制比增量为Δm=0.01足够小，因此该方法中近似认为第i个开关角度到第i+1个开关角度的轨迹是一条直线。线性插值法示意图如图5所示，其中 θN（N=1，2，3）为开关角度，i为区间段号，θNm为调制比为m时对应的开关角度。

图5 线性插值法在线计算角度示意图Fig.5 Schematic diagram of online switching angle calculation by linear interpolation method

由线性关系可知开关角度计算式如下：

将 Δm=0.01代入式（8），整理得：

其中，由给定的调制比m可依据DSP数学函数库math.h中的floor函数求得区段i的值，具体公式如下：

当区段 i确定时，θN[i]、θN[i＋1]可以查表得到，因此可以依据式（9）获得对应调制比下开关角度的解 θNm。

综上所述，可以得到线性插值法实现SHEPWM的在线计算流程图，如图6所示。

为了验证该方法的可行性及消谐效果，取任意10个调制比下求得的开关角度做数据分析，数据分析结果如表1所示。其中，耗时表示CCS3.3编程环境下测得的计算开关角度花费的时间（DSP计算时间）；UANx／UAN1（x=5，7）表示消谐后 5、7 次谐波剩余量。

由表1中所测数据可知，在采用线性插值法实现SHEPWM开关角度在线计算时，DSP所耗费时间为160 μs左右，计算的开关角度控制结果中5、7次谐波剩余量基本控制在基波幅值的1／10000数量级之内，具有较好的控制效果。

由上文的分析可知，在该方法中区间越多，即事先建立的数据表格越长，在线计算精度越高。因此，本文认为在不影响DSP数据空间的情况下（有足够储存空间完成控制算法），可适当增加离线计算的数据长度（数据过大导致工作量加大）。

图6 线性插值法实现流程Fig.6 Flowchart of linear interpolation method

由表1中知，运用本节所述方法求取的七电平逆变器SHEPWM控制下调制比m为0.863时的3个开关角度为 θ1=21.79956°、θ2=48.34290°、θ3=64.63573°，对其进行了MATLAB／Simulink仿真实验。仿真中，直流电压源幅值50 V，频率50 Hz，纯电阻负载。仿真实验结果如图7、图8所示。由图8中频谱可以看出相电压及线电压中5、7次谐波基本得到消除，并且仿真结果中调制比m′=128.7／150=0.858，幅值误差为：

这就证明了，本文所述利用Solve函数求解多项式方程组得到的开关角度制作成数据表格，进而利用线性插值法在线计算不同调制比下的开关角度可以达到消除特定谐波的目的。

3.2 牛顿迭代法

图7 线性插值法计算结果的相电压及线电压仿真波形Fig.7 Simulative waveform of phase voltage and line voltage by linear interpolation method

图8 线性插值法计算结果的输出电压频谱Fig.8 Spectrum of output voltage by linear interpolation method

由图3中可以看出，开关角度解随调制比变化的轨迹中大部分成线性分布，由此本文将求解得到的开关角度拟合成关于调制比m的一元线性方程[16]，再利用牛顿迭代法在线求解开关角度，迭代初值由拟合的一元线性方程决定。将图3中第1组解一元线性拟合得到的方程如式（11）所示，单位为度，DSP计算时需转换为弧度制单位。

由上文论述总结牛顿迭代法实现SHEPWM的在线计算流程图，如图9所示。

利用牛顿迭代法取表1中的10组调制比得到计算结果如表2所示，其中迭代精度为10-7。

表2表明在DSP实现牛顿迭代法在线计算SHEPWM开关角度时，迭代次数可控制在5次左右，耗费时间随迭代次数增加而有所增加，5、7次谐波剩余量可控制在10-6以内。与前文所述线性插值法相比，精度是它的1／1000左右，但耗费时间却是它的30～50倍，与迭代次数有关。在实际工程应用中，选择反应速度较快的线性插值法亦或是精度较高的牛顿迭代法，可视具体情况选择。

表1 线性插值法在线求解数据分析Table 1 Analysis of data solved by linear interpolation method

图9 牛顿迭代法实现流程Fig.9 Flowchart of Newton iteration method

由表2知，利用本节所述牛顿迭代法求取的调制比m为0.863时的3个开关角度为θ1=21.2312°、θ2=47.695 65°、θ3=64.646 59°，仿真实验结果如图10、图11所示。由图11中频谱可以看出相电压及线电压中5、7次谐波基本得到消除。仿真结果中调制比 m′=129.5 ／150=2.59 ／3，幅值误差为：

因此证明了，本文所述利用Solve函数求解多项式方程组得到的开关角度拟合成一元线性方程作为牛顿迭代的初值，进而在线计算不同调制比下的开关角度，同样可以达到消除特定谐波的目的。且牛顿迭代法相比于线性插值法精度更高，幅值误差ΔU仅为0.0333%。

4 实验验证

为了验证其实际消谐效果，在级联七电平试验样机上进行了实验，该样机开关管选择MOSFET IRFIZ24N，A3120作驱动，输入直流侧电压为22 V，输出电压频率50 Hz，224 Ω水泥电阻作为负载。实验中采用DSP（TMS320F2812）进行控制，实现了上文中提到的2种开关角度的在线实时计算方法。为简便起见，实验中给定调制比代替实际工程中“取参考电压”环节[17]。

图10 牛顿迭代法计算结果的相电压及线电压仿真波形Fig.10 Simulative waveform of phase voltage and line voltage by Newton iteration method

图11 牛顿迭代法计算结果输出电压频谱Fig.11 Spectrum of output voltage by Newton iteration method

图12、图13所示为调制比m=0.863时，利用牛顿迭代法在线计算开关角度的实验波形。由频谱可以看出指定消除的5、7次谐波基本得到消除，从而证明利用Solve函数求解多项式方程组得到的开关角度拟合成一元线性方程作为牛顿迭代的初值进而在线计算的开关角度是正确的，可以达到消除特定谐波的目的。同时证明了该系统可实现实时控制。由表1、表2知，2种在线计算方法的角度计算结果差别不大，因此这里只给出牛顿迭代法的实验波形。

表2 牛顿迭代法在线求解数据分析Table 2 Analysis of data solved by Newton iteration method

图12 相电压及线电压实验波形Fig.12 Experimental waveforms of phase voltage and line voltage

图13 相电压及线电压频谱Fig.13 Spectra of phase voltage and line voltage

5 结论

本文在DSP中分别用线性插值法和牛顿迭代法实现了特定谐波消除技术开关角度的在线计算。首先，将三角函数形式的消谐模型转换为代数多项式的形式，并用MATLAB中Solve函数进行求解得到了七电平逆变器SHEPWM开关角度的所有解；然后，结合求解得到的开关角度，分别利用线性插值和牛顿迭代法实现了开关角度的在线计算。仿真和实验得出了以下结论：

a.利用三角函数倍角关系将非线性方程组转换成代数多项式结合Solve函数求解开关角度的方法是可行的，可以求得消谐方程组的所有解，具有简单、高效且可避免初值问题的优点；

b.在使用线性插值法实现开关角度在线计算时，不同调制比下DSP计算时间基本相等大约160 μs，消除的谐波剩余量数量级大约可控制在10-4，且数据表格越长精度越高，但存储空间随之加大；

c.在使用牛顿迭代法实现开关角度在线计算时，不同调制比下DSP计算时间不同，与迭代次数有关，本文中迭代次数可控制在5次左右，消除的谐波剩余量数量级可控制在10-7，采用线性拟合作为牛顿迭代的初值可大幅节约数据储存空间，且精度比线性插值法高，但该方法在线计算开关角度时间比线性插值法长，实时性相对较弱。

总之，本文所述2种方法有各自的特点，且都可实现特定谐波消除技术开关角度的在线计算。可见，利用Solve函数求解转化代数多项式消谐模型获得方程组的全部解，而后选取开关角度进行相关处理实现SHEPWM实时控制是一种可行思路。