“点全、线联、面融式”教学研究的思考

杨燕华

一、提出问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读告诉我们，教材是按照整体性设计和编写的，数学教学活动要注重课程目标的整体实现。特别是《初中数学教与学》（人大复印）2014年10期《从知识整体性视角设计主问题引领课堂教学》，该文作者认为，数学课堂教学既要追求“局部完美”，更要追求“整体和谐”，即把知识体系当成核心、围绕知识体系展开教学。在苏教版七年级上册第五章第一节“丰富的图形世界”教学内容中提到，任何图形都是由点线面构成的，于是笔者大胆设想：如果把每节课上学习的单个或多个知识比作“点”，那么可以设法把多个“点”串联成“线”，形成知识链，最后对这些“线”加以融合，使之成为一个整体，形成结构“面”。在笔者平时的教学中，往往仅考虑“教什么”，即点状的局部知识，而忽略了知识整体结构。课堂教学中如何将散状的单个知识点串成一条线形成知识模块，多个模块间相互融合形成一个面是我一直在思考的问题。以下结合苏科版七年级上册第五章第二节《图形的运动》公开课为例，谈谈对这节课的回顾及思考。

二、课例设计

1.回顾旧知，引出问题

教师：前面我们学习了丰富的图形世界，丰富多彩的图形都是由简单的几何图形构成的。请先回忆一下，生活中常见的几何体有哪些？

学生：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球。

教师：这些几何体中，面与面相交处形成了什么？线与线相交处形成了什么？

学生：面与面相交形成了线，线与线相交形成了点。

教师：所以任何几何图形都是由点、线、面组成的。既然如此，我可否大胆的设想：如果将点、线、面经过运动变化，是不是能组成新的几何图形呢？本课我们就来研究图形的运动。

说明：上述过程中，教师从数学知识的内部发展引入，揭示了新旧知识的前后关联，引导学生发现数学的魅力。

2.探究问题，获得新知

教师：我们把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动形成什么图形？你发现了什么？

学生：笔尖在纸上运动形成了一条线。我发现：点动成线。

教师：把汽车的雨刷看成一条线，这条线在挡风玻璃上运动形成什么图形？你发现了什么？

学生：雨刷运动形成了一个扇面。我发现：线动成面。

教师：从上面问题中可以发现：点运动形成线，线运动形成面。请同学举出生活中“点动成线，线动成面”的例子？

学生：下雨时，把雨滴看成一个点，这个点下落形成一条线，把时针看成一条线，这条线运动形成面等。

说明：上述过程中，既考虑生活情境，又考虑数学实质，教师让学生自己动手操作，感受知识的形成，体会生活中处处有数学。

教师：上面我们学习了点的运动和线的运动，你们觉得下面我们学习什么？

学生：面的运动。

教师：下面我们一起操作，感受面的运动。

（1）长方形纸板绕它的一条边旋转一周，形成怎样的几何体？

（2）直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，形成怎样的几何体？

（3）动手将一枚硬币在桌面上快速旋转，形成怎样的几何体？

学生：分别形成圆柱、圆锥和球。

教师：圆柱、圆锥和球都是几何体，所以面动成体。点运动形成线，线运动形成面，面运动形成体。点是构成图形的基本元素，线是一维的，面是二维的，体是三维空间的立体图形。

说明：学生通过动手操作自主探究新知识的形成，增强了学生的数学学习兴趣，也让学生明白，知识从哪里来？知识是怎样形成的？

思考：“点全”针对本堂课而言，上述过程中涉及的知识点有三个：“点动成线”、“线动成面”、“面动成体”，既要做到知识点全面覆盖，又要区分各自的权重，学生对于面的运动理解较抽象，这里我通过三个操作帮助学生感受“面的运动”。

“线联”针对本堂课中上面提到的三个知识点而言，我们要通过“知识从哪里来？怎样形成的？学后有什么用？知识向哪里去？”穿起一条教学的活动主线，对相互关系的多个知识点而言，要找到它们的相互联系，本堂课的这三个知识点由浅入深，从简到难，层层递进。

3.剖析新知，多元认识

教师：学习了面的运动有什么用？我们可以解决哪类问题？看书上题目：将两块相同的三角板的相等边拼在一起，能拼出多少种不同的平面图形？你能说出这些图形的名称吗？（注意：相等边拼在一起）

学生：展示

教师：观察图1、3、5都是将一个三角形通过怎样的变换得到另一个三角形的？

学生：将一个三角形沿着某条直线翻折得到另一个三角形。

教师：所以翻折可以形成新的图形，请同学们观察翻折后图形与原图形比较，什么发生了变化？什么没有变化？

学生：三角形位置发生了变化，但形状和大小没有变化。

教师：图2、4、6中一个的三角形是通过怎样的变化得到另一个三角形的？

学生：将一个三角形绕着某点旋转180°而得到另一个三角形。

教师：所以旋转可以形成新的图形，请同学们观察翻折后图形与原图形比较，什么发生了变化？什么没有变化？

学生：三角形位置发生了变化，但形状和大小没有变化。

教师：观察图2是个平行四边形，通过怎样的变换能够得到如图6所示的矩形呢？

学生：平移。

教师：所以，平移可以形成新的图形。

学生：和前面一样，三角形的位置发生了变化，但形状和大小没有变化。

教师：平移，翻折，旋转是图形变换的三种基本方式。通过平移、翻折、旋转可以得到很多美丽的图案，而变化前后仅仅是图形位置变化，形状、大小不变。

说明：用一道数学拼图题，对本课的知识点线面运动的多元认识：图形的三种变换，像这样，对单个知识或多个知识尽可能多的加以融合，使之成为一个整体，叫作“面融”。在上述过程中，笔者采用类比的教学方法，让学生明白：知识的内涵是什么？学习知识有什么用？引导学生学习知识时数学思想方法的渗透。

4.学以致用，体会价值

教师：现在我们利用如图所示的图案，设计出美丽的图案，然后利用你设计的图案，通过平移、翻折或旋转，设计出更加美丽的加大型图案。

学生：展示

说明：上述过程中，通过图形的三种变换设计丰富多彩的图案，让学生感受“学习知识后有什么用？”“学习数学如何为生活服务的？”

5.当堂反馈，能力提升

（教师布置课堂练习，学生做）

教师：本节课我们学习了哪些知识和技能？从中你体会了哪些数学思想方法？你获得了哪些数学活动经验？

学生：本课中我们学习了点动成线，线动成面，面动成体;知道了图形的三种变换方式翻折、平移和旋转;也知道了图形是由点线面构成的;在学习过程中体会了图形变换、类比的数学思想;从中获得了将简单的图形通过变化可以构成复杂的图形、复杂的图形中分解出简单的图形等数学活动经验。

教师：今天我们学习了“面动成体”，说明了二维的平面图形与三维的立体图形之间是可以相互转化的，他们之间还有怎样的关联，我们将在下节课图形的转开与折叠继续学习。

知识体系梳理：

说明：新旧知识建立体系，把单个知识串连化、多个知识链系统化、最后多个模块融合。从微观解读教学内容，转向宏观把握，理清前后知识的关联，完整明晰知识框架，也为下节课的学习明确研究方向。

三、公开课后的思考

本课以“点线面的运动”这个知识为明线，以“图形的运动及三大变化从哪里来？怎样形成的？学后有什么用？向哪里去？”为设计暗线。

“点全”指针对一堂课而言，如果知识点只有一个，则要加强它的前面、本身、后面的联系，形成对这个知识点的全面认识;如果知识点有多个，既要做到全面覆盖，又要区分各自权重;“线联”指针对一堂课而言，对一个知识点而言我们要通过“知识从哪里来？怎样形成的？学后有什么用？知识向哪里去？”穿起一条教学的活动主线，对相互关系的多个知识点而言，要找到它们的相互联系，形成知识链认识;“面融”指针对一堂课而言，无论是单个知识还是多个知识，一是对知识要尽可能多的加以融合，使之成为一个整体，形成结构层面，二是从“四基”“四能”角度加强从知识技能获得所必需的思想方法、数学活动经验的理解，包括理解完整度、深度和宽度。

（作者单位：江苏省无锡市新城中学）