一类变系数电报方程的求解方法*

周永芳，赵春燕，陈 忠

(1.黑龙江科技大学;2.河北工业大学;3.哈尔滨工业大学)

0 引言

近年来，再生核数值方法广泛的用于微分方程边值问题、积分方程、积分微分方程的数值求解［1-5］，该文将建立包含边值条件的再生核空间，在空间中讨论如下的变系数电报方程

精确解的表达形式，给出方程的近似解，证明近似解及其导数一致收敛于方程精确解及其导数.其 中，r(x)＞0，p(x)＞0，r(x)，p(x)，q(x)，f(x)，g(x)，F(x，t)是连续实函数，且p(x)是可微的.

1 再生核空间

定义1H13［0，1］ ={u(x)|u，u'，u″是［0，1］上绝对连续实值函数，a1u'(0)+b1u(0)=0，a2u'(1)+b2u(1)=0，u‴∈L2［0，1］}［0，1］是再生核空间，再生核函数记为

H是再生核空间，再生核函数记为

设区域 Ω = ［0，1］×［0，T］.

H(Ω)是再生核空间，再生核函数记为K(x，t，θ，s)内积〈u，v〉H和范数的定义参见文献［5］.

定义6W(Ω)={u(x，t)|u(x，t)是Ω上的全连续函数

W(Ω)是再生核空间，再生核函数记为内积〈u，v〉W和范数的定义参见文献［5］.

2 方程的齐次化与有界线性算子

其中，E［x，t］=q0(t)(ax2+bx+c)+q1(t)(Ax2+Bx+D)，这里a，b，c，A，B，D是常数，Q(x，t)=F(x，t)-r(x)vtt(x，t)+［p(x)vx(x，t)］xq(x)v(x，t)，v(x，t)=-E［x，t］-f(x)+E(x，0)+t·Et(x，0)-t·g(x).不失一般性，在下面的讨论中，用u(x，t)代替(x，t).

定义线性算子Γ:H(Ω)→W(Ω)，对任意u(x，t)∈H(Ω)，

则方程(2)可以转变成如下算子方程的形式

其中，u(x，t)∈H(Ω)，当u=u(x，t)∈H(Ω)时，Q(x，t)∈W(Ω).

引理1 Γ:H(Ω)→W(Ω)是有界线性算子.

3 方程的精确解和近似解的收敛性

令M=(x，t)，记为Ω = ［0，1］×［0，T］的稠密子集.

且u(M)在‖·‖H意义下是收敛的级数.

注意到H(Ω)是 Hilbert空 间，u(M)=是H(Ω)中的傅立叶级数，所以u(M)在‖·‖H意义下是收敛的级数.定理得证.

注 定理1给出了方程(3)精确解的级数表达式.

将区域Ω=［0，1］×［0，T］分隔为一个p×q的网格，步长是整数，网格点(xi，tj)定义为xi=i×Δx，tj=j×Δt，(i=0，1，2，…，p，j=0，1，2，…，q).

通过截断式(4)中给出的级数，得到方程(3)的近似解

定理2 若u(M)是方程(3)的解，un(M)是方程(3)的近似解，分别由式(4)(5)给出，则‖u(M)-un(M)‖H→0，‖u(M)-un(M)‖C→0，n→ ∞ .

证明 由式(4)(5)，H(Ω)是Hilbert空间，有‖u(M)-un(M)‖H→0.注意到

C1是常数，所以‖u(M)-un(M)‖C→0，n→∞.

定理3 若定理2的条件成立，则un(M)的各阶导数一致收敛于u(M)的各阶导数.

证明 由定理2可知，un(M)一致收敛于u(M)，注意到

C2是常数，所以即一致收敛于∂2u(M).类似∂t2的，可以证明其他的近似解导数的一致收敛性.

4 数值模拟

例1 这里考虑方程(1)，其中，r(x)=x2，p(x)=x4，q(x)=x2，0＜x＜1，0＜t＜1，a1=a2=b1=b2=1，方程(1)的解u(x，t)=x2tet+1，f(x)=0，g(x)=x2-1，q0(t)=1-et，q1(t)=1-et+3t，F(x，t)=-etx2-10tx4+x2(1-et+tx2).利用式(5)，取n=p×q=100，得到方程(1)的近似解u100(x，t)，计算结果见表1.

表1 例1的计算结果

［1］ 周永芳，吕学琴，张艳英.再生核空间中一类积分方程的解［J］.哈尔滨师范大学自然科学学报，2006，22(5):12-15.

［2］ 吕学琴，崔明根.求解一类二阶非线性偏微分方程的新算法［J］.计算数学，2009，31(2):111-117.

［3］ Zhou Yongfang，Cui Minggen，Lin Yingzhen.Numerical algorithm for parabolic problems with non-classical conditions.Journal of Computational and Applied Mathematics［J］.2009，230:770-780.

［4］ Yao Huanmin，Cui Minggen.A New Algorithm For a Class of Singular Boundary Value Problems［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，186(2):1183-1191.

［5］ 周永芳.若干微分方程非局部边值问题的一种数值方法［D］.哈尔滨:哈尔滨工业大学，2011.15-19.